Spazi di Sobolev

2022-2023

Corso di Laurea in Matematica

Università di Pisa


Questo corso è un'introduzione alla teoria degli spazi di Sobolev, uno strumento fondamentale nello studio delle Equazioni alle Derivate Parziali e nel Calcolo delle Variazioni. Il corso è pensato come una continuazione naturale del corso di Analisi 3 ed è quindi un corso della Laurea Triennale che però può anche essere seguito dagli studenti della Laurea Magistrale, prima o dopo il corso di Istituzioni di Analisi.

Il corso ha una durata di 48 ore e si terrà nel secondo semestre.

Le parti 1 e 2 del programma sono la parte principale del corso.

La parte 0 del programma (circa 4 ore) sarà probabilmente ben nota a chi ha già seguito il corso di Istituzioni. La parte 3 tratta un argomento avanzato che però utilizzerà diversi strumenti introdotti al corso di Analisi 3. La parte 4 sarà dedicata alla costruzione rigorosa delle armoniche sferiche.

Esame


Esame orale classico.
Una lista di domande per l'esame sarà pubblicata sul sito alla fine del corso.

Programma


Parte 0. Convergenza debole negli spazi Lp.

Convergenza debole negli spazi L^p con p>1. Le successioni limitate sono debolmente compatte. Un sottospazio lineare è chiuso rispetto alla topologia debole se e solo se lo è rispetto a quella forte. Convergenza debole e semicontinuità della norma L^p.


Parte 1. Spazi di Sobolev.

Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p in dimensione N. Completezza degli spazi W1,p. Somma, prodotto, inf e sup di funzioni di Sobolev. Approssimazione con funzioni regolari. Teoremi di estensione. Disuguaglianza di Poincaré. Compattezza delle successioni limitate: Teorema di Rellich. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Lemma di Morrey. Continuità delle funzioni di W1,p per p abbastanza grande. Spazi W01,p.


Parte 2. Minimizzazione di funzionali variazionali e soluzioni deboli.

Formulazione debole di problemi ellittici in domini limitati. Principi di confronto. Limitatezza delle soluzioni. Teorema della regolarità ellittica. Funzioni armoniche e funzioni subarmoniche. Teorema della media. Regolarità delle funzioni armoniche. Continuità fino al bordo delle soluzioni di problemi ellittici con dato di Dirichlet. Approssimazione con soluzioni di problemi ellittici. Una definizione equivalente di W01,p. Principio di concentrazione-compattezza. Problemi variazionali in domini illimitati.


Parte 3. Capacità.

Insiemi di capacità nulla. Unione e intersezione di insiemi di capacità nulla. Teorema di Besicovitch. Definizione di una funzione di Sobolev a meno di un insieme di capacità nulla. Capacità e misura di Hausdorff. Traccia di una funzione di Sobolev su un’insieme di misura di Hausdorff positiva. Convergenza cap-quasi-ovunque. Una definizione equivalente di W01,p. Teoremi della traccia. Teorema di Gagliardo.


Parte 4. Autovalori e autofunzioni.

Operatori compatti su L2. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano su un dominio limitato. Equazione del calore su domini limitati. Spazi di Sobolev sulla sfera. Spazi H1/2 sulla sfera. Armoniche sferiche e funzioni armoniche omogenee.

Dispense


Registro
delle lezioni


Lezione 1.
Dispense:

Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it