Capitolo 1. Gli spazi Lp come spazi di Banach.
Spazio duale e convergenza debole.
Operatori lineari continui su uno spazio di Banach.
Teorema di Hahn-Banach.
Norma di un operatore lineare continuo.
Spazio duale di uno spazio di Banach.
Spazio suale di Lp.
Convergenza debole negli spazi Lp nel caso p>1.
Le successioni limitate sono debolmente compatte.
Le successioni debolmente convergenti sono limitate.
Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole.
Capitolo 2. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile
Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p su intervalli.
Gli spazi W1,p(I) come spazi di Banach.
Teorema fondamentale del calcolo integrale in W1,p(I).
Approssimazione con funzioni regolari.
Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev.
Teoremi di estensione.
Limitatezza delle funzioni di Sobolev.
Serie di Fourier.
Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici.
Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili.
Derivate deboli e definizione degli spazi W1,p in dimensione N.
Completezza degli spazi W1,p.
Approssimazione con funzioni regolari.
Teoremi di estensione.
Disuguaglianza di Poincaré.
Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger.
Teorema di Rellich.
Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.
Immersioni di Sobolev nel caso critico p=d.
Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p>d.
Teorema di Gagliardo, disuguaglainza di Hardy integrale e disuguaglianza di Minkowski integrale.
Formulazione debole di problemi ellittici.
Equazione del calore su domini limitati.
Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale.
Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.
Lezione 1 - giovedì 29/02/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Introduzione al corso.
Funzionali lineari continui sugli spazi Lp.
Disuguaglianza di Clarkson.
Il duale di Lp è Lq; il caso 2>p.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1, Parte 1.1.
Lezione 2 - venerdì 01/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di Lp è Lq; il caso p>2.
Funzionali lineari continui su uno spazio di Banach. Spazio duale.
Norma di un operatore. Lo spazio duale è uno spazio di Banach.
Convergenza debole. Unicità del limite debole.
Teorema di Hahn-Banach.
Dispense: Capitolo 1. Parti 1, 1.1, 1.2, 2, 2.1.
Lezione 3 - giovedì 07/03/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Esempi di successioni debolmente convergenti.
Compattezza debole delle successioni limitate.
Limitatezza delle successioni debolmente convergenti.
Semicontinuità della norma e teorema di Radon-Riesz.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2, parte 2.1.
Lezione 4 - venerdì 08/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Definizione dello spazio W1,p su un intervallo.
Definizione e unicità della derivata debole.
Norma e completezza dello spazio W1,p.
Prodotto scalare nello spazio W1,2.
Convergenza debole negli spazi W1,p.
Esempi di funzioni in W1,p.
Dispense: Capitolo 2. Parti 1, 2, 3, 4.
Lezione 5 - giovedì 14/03/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Una caratterizzazione delle funzioni di Sobolev tramite traslazioni.
Teorema di estensione per intervalli illimitati.
Lezione 6 - venerdì 15/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di estensione per intervalli limitati.
Approssimazione di una funzione di Sobolev con funzioni regolari.
Lezione 7 - giovedì 21/03/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Limitatezza delle funzioni di Sobolev e le sue conseguenza - teoremi di immersione compatta.
Prodotto tra funzioni di Sobolev.
Composizione di funzioni regolari con funzioni di Sobolev.
Lezione 8 - venerdì 22/03/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Composizione di funzioni regolari con funzioni di Sobolev - teoremi di convergenza.
Parte positiva e modulo di una funzione di Sobolev.
Spazi W1,p0 - definizioni equivalenti.
Soluzioni deboli di problemi ellittici su intervalli.
Unicità delle soluzioni deboli.
Lezione 9 - giovedì 28/03/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Soluzioni deboli e soluzioni forti di problemi ellittici su intervalli.
Formulazione variazionale. Esistenza di soluzioni deboli.
Disuguaglianza di Poincaré.
Lezione 10 - giovedì 11/04/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
Principio del massimo debole e principio del confrontro.
Convergenza forte delle soluzioni di problemi ellittici.
Esempio di una soluzione debole ma non forte.
Spazi di Sobolev e serie di Fourier.
Lezione 11 - venerdì 12/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Equazione del calore - esistenza e unicità delle soluzioni.
Funzioni di Sobolev in dimensione N - definizione, gradiente debole, esempi.
Esempio di una funzione di Sobolev discontinua.
Esempio di una funzione di Sobolev illimitata.
Lezione 12 - giovedì 18/04/2023, dalle 09:00 alle 11:00.
W1,p(Ω) come uno spazio di Banach.
Convergenza forte e convergenza debole.
Convoluzione e approssimazione di funzioni di Sobolev con funzioni di Sobolev regolari.
Lezione 13 - venerdì 19/04/2023, dalle 16:00 alle 18:00.
Approssimazione di funzioni di Sobolev con funzioni regolari a supporto compatto.
Teorema di Rellich.
Lo spazio W1,p0(Ω) - definizione e proprietà.
Disuguaglianza di Poincaré su domini limitati.