Probabilità e Processi Stocastici (455AA)
Avvisi
17/07/2024: Testo e soluzioni della prova scritta di oggi.
26/06/2024: Testo e soluzioni della prova scritta del 25 giugno. Per gli orali prego di contattarmi per fissare una data (eventualmente anche in coincidenza con la prossima prova scritta, il 17/07.
05/06/2024: Testo e soluzioni della prova scritta del 4 giugno. Per gli orali prego di contattarmi per fissare una data (eventualmente anche in coincidenza con la prossima prova scritta, il 25/06).
06/04/2024:Testo e soluzioni della prova scritta del 04/04. I risultati sono disponibili su Teams. Per gli orali: chi desidera sostenerlo ad Aprile (entro il 19/04), mi scriva su Teams o via mail, altrimenti il voto resterà valido per il primo appello orale di Giugno (non oltre!).
22/03/2024: Ho fissato uno scritto nell’appello di Aprile, in data 4/4/2024, ore 9:00. L’appello è aperto a tutti. Prego di notare l’aula: sala Riunoni, primo piano dipartimento di Matematica (edificio principale) Largo Bruno Pontecorvo, 5, 56127 Pisa. Possibilmente arrivare qualche minuto prima.
14/02/2024:Testo e soluzioni della prova scritta del 14/02. Ho caricato anche un breve video di commento sulle soluzioni e gli errori principali che ho osservato. Ricordo che sono sempre a disposizione per ricevimenti su appuntamento. I risultati sono disponibili su Teams. Gli orali si terranno dalle 8:00 del 16/02 in Sala riunioni del Dipartimento di Matematica: una volta entrati salite le scale (le trovate leggermente a destra), al primo piano, la a prima porta sulla sinistra.
30/01/2024: Testo, soluzioni e risultati della prova del 29/01 sono disponibili su Teams. Gli orali si terranno domani 31/01 in saletta seminari Ex-albergo Marzotto a partire dalle ore 10:00. Ricordo anche che chi ha superato la prova potrà sostenere l’esame in occasione del prossimo scritto nell’aula F6 il 14/02.
12/01/2024: Un avviso relativo agli orali delle prove del 29/01 e 14/02: per chi ha superato i compitini (o uno scritto precedente) terremo l’orale nella stessa data dello scritto e nella stessa aula (F6). Per chi supera lo scritto e vuole sostenere in corrispondenza l’orale relativo (in particolare necessariamente per lo scritto del 14/02) prenoterò un’aula un paio di giorni dopo.
10/01/2024: La prova orale relativa al primo appello della sessione invernale si terrà venerdì 12/01/2024 dalle ore 8:15 in “saletta riunioni” dell’ex-Albergo Marzotto. Ho attivato le iscrizioni sul portale esami: se avete intenzione di sostenere l’orale in questa occasione iscrivetevi e compilate il questionario. Sono disponibili testo con soluzioni, un breve video di commento e gli esiti (solo Teams) della prova in itinere del 10/01/2024.
29/11/2023: Sono disponibili testo con soluzioni e gli esiti (solo Teams) della prova in itinere del 27/11/2023. Ho caricato anche un breve video di commento sulle soluzioni e gli errori principali che ho osservato. Ricordo che sono sempre a disposizione per ricevimenti.
15/09/2023: Sono disponibili testo con soluzioni della prova scritta e gli esiti. Contattatemi via e-mail per le prove orali (su appuntamento, da martedì 19/09 a venerdì 22/09 inclusi).
Descrizione del corso
Il corso si occupa dell’insegnamento dei concetti di base della probabilità, intesa come calcolo del grado di fiducia basato su informazione parziale, con approfondimenti riguardanti la teoria generale dei processi stocastici (studio delle catene di Markov, processi di Markov a salti, processi autoregressivi, serie storiche).
Si propone inoltre una introduzione minima al linguaggio R per l’analisi dei dati e la statistica.
Modalità d’esame
L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale:
La prova scritta è strutturata in problemi da risolvere analiticamente, sugli argomenti coperti dal corso fino ai processi di Markov a salti (inclusi). È possibile l’uso di calcolatrici (non programmabili) e materiale didattico personale (appunti, libri, dispense). Il voto della prova scritta è assegnato in trentesimi, con soglia di superamento a 16.
La prova orale, cui si accede solamente se si supera la prova scritta, consiste di domande su tutto quanto svolto nel corso: definizioni, esempi e controesempi, teoremi anche con dimostrazione, eventualmente anche qualche comando R. Sarà anche possibile richiedere agli studenti di discutere eventuali errori commessi nella prova scritta.
Il voto finale tiene conto sia della prova scritta che della prova orale.
Per facilitare l’organizzazione dello studio di tutto il materiale del corso, si conviene la seguente regola di ammissione alla prova orale: coloro che abbiano superato una prova scritta potranno svolgere la prova orale anche in un qualsiasi appello successivo, purché nella medesima sessione (il compitino vale per la sessione invernale).
È obbligatoria l’iscrizione per sostenere la prova scritta presso il portale esami ed è fortemente consigliata per la prova orale (specificare nelle note solo prova orale).
Ricevimento
L’orario del ricevimento settimanale (in presenza oppure su MS Teams) sarà concordato con gli studenti nella prima settimana del corso.
Per ragioni organizzative è fortemente consigliato avvisare prima (di persona a lezione, via mail o messaggio Teams) se si intende partecipare al ricevimento.
Materiale didattico
Le lezioni saranno registrate e rese disponibili su Youtube.
Sono inoltre a disposizione:
Un foglio di riepilogo delle principali densità e delle loro proprietà
Le slides delle lezioni:
Introduzione al corso e regole elementari della probabilità. (slides).
Formula di Bayes, statistica bayesiana elementare e cenni agli assiomi di Kolmogorov (slides).
Indipendenza probabilistica, densità binomiale e problemi. (slides).
Variabili aleatorie generali, discrete e continue. (slides).
Trasformazioni di variabili: composizione tramite funzione e formule di trasformazione delle densità, variabile congiunta e variabili marginali. Formula di Bayes per variabili, indipendenza. (slides).
Reti bayesiane, cenni alle densità coniugate e ai metodi numerici. Problemi. (slides).
Funzione di ripartizione, mediana e quantile. Valor medio e proprietà. (slides)
Varianza, deviazione standard. Covarianza e coefficiente di correlazione. Matrice delle covarianze e standardizzazione. Esempi (slides).
Problemi su medie, varianze e covarianze. Momenti e funzione generatrice dei momenti. Richiami sulla trasformata di Fourier. (slides).
Funzione caratteristica e cenni sull’entropia. Variabili aleatorie gaussiane: definizione e proprietà (caso reale). Problemi. (slides).
Esercizi su variabili gaussiane. Vettori aleatori gaussiani: definizione e proprietà. Stima dei parametri di media e varianza da osservazioni di gaussiane indipendenti. (slides).
Stima dei parametri da osservazioni di gaussiane vettoriali indipendenti. PCA e intepretazione probabilistica. Regressione: metodo dei minimi quadrati, modelli lineari. (slides).
Esempio in R di regressione lineare. Intepretazione probabilistica del metodo dei minimi quadrati. Approccio Bayesiano e regolarizzazione. Come giustificare l’ipotesi di residui gaussiani (istogrammi, QQ-plot, test di gaussianità). Metodo di Laplace. Esercizi di riepilogo. (slides).
Introduzione ai processi stocastici, classificazione stati/tempi continui/discreti. Legge di un processo, legge delle marginali. Proprietà di Markov, processi omogenei, processi stazionari. Catene di Markov (omogenee): matrice di transizione, rappresentazione grafica, legge del processo e legge delle marginali (slides).
Processi di Markov a salti: matrice delle intensità di salto, legge delle marginali (master equation), legge del processo. Distribuzioni invarianti: definizione, bilancio di flusso, teoremi di esistenza, unicità e classificazione (slides).
Dimostrazione dei teoremi di esistenza, unicità per distribuzioni invarianti. Catene regolari, esercizi (slides).
Problemi vari (slides).
Stima dei parametri di una catena di Markov (o processo a salti) partendo dalle osservazioni di un cammino. (slides).
Esempi dalla teoria delle code. Introduzione ai processi a stati continui (tempi discreti): funzioni di media, autocovarianza, autocorrelazione (slides).
Esempi fondamentali: rumore bianco gaussiano, passeggiata aleatoria gaussiana, equazione lineare con smorzamento. Modelli ARIMA, definizioni, proprietà e previsione mediante comandi R. (slides).
Stima della funzione di autocovarianza per processi stazionari (autocovarianza empirica, densità spettrale di potenza). Convergenza di variabili aleatorie (probabilità, media quadratica, in legge) e legge dei grandi numeri per esperimenti indipendenti e ripetuti (slides).
Legge dei grandi numeri generale, teorema ergodico, teorema limite centrale, cenni agli eventi estremi (slides).
Una Raccolta dei compiti degli anni precedenti, con soluzioni (non esitate a segnalare eventuali imprecisioni nelle soluzioni).
