Capitolo 5 Variabili aleatorie gaussiane

Le densità gaussiane (o normali) sono particolari densità continue (su \(\R\) o più in generale su \(\R^d\)) che hanno una estrema rilevanza sia nella teoria della probabilità che nelle applicazioni. Tra le densità continue è di sicuro la famiglia più versatile e importante (anche più delle densità uniformi).

Il capitolo è strutturato nel seguente modo:

• Nella Sezione 5.1 introduciamo la densità gaussiana nel caso di variabili aleatorie reali, discutendo il ruolo dei parametri (media e varianza). Successivamente, nella Sezione 5.2 estendiamo al caso vettoriale, ma senza addentrarci troppo nelle dimostrazioni, più tecniche.

• Le Sezioni 5.3, 5.4, 5.5 si occupano del problema di stimare i parametri di variabili gaussiane sulla base di una o più osservazioni. La struttura particolare delle densità gaussiane permette sia di considerare stime di massima verosimiglianza sia l’approccio bayesiano da un punto di vista analitico (purché si introducano densità a priori opportune). Per semplificare l’esposizione discutiamo prima il caso di una singola variabile gaussiana, poi il caso di osservazioni indipendenti di variabili reali (tutte con gli stessi parametri) e infine accenniamo al caso vettoriale.

• Presentiamo poi due applicazioni fondamentali delle variabili gaussiane: l’analisi delle componenti principali (PCA), nella Sezione 5.6, e il criterio dei minimi quadrati per la regressione, nella Sezione 5.7. L’ipotesi che le variabili osservate o i residui siano gaussiane permette di giustificare tali metodi in termini di stime di massima verosimiglianza per opportuni modelli.

• La Sezione 5.8 indica come valutare l’ipotesi di gaussianità per una variabile aleatoria, sia in modo qualitativo (tramite opportuni grafici) che quantitativo (tramite test statistici).

• Concludiamo infine con la Sezione 5.9 in cui si presenta un metodo dovuto a Laplace, euristico ma spesso efficace, per approssimare una densità generale con una opportuna gaussiana.