2.4 Regola del prodotto

Passiamo ora alla seconda regola di calcolo, che afferma, nel caso della congiunzione tra due affermazioni, come la probabilità si ottenga tramite un opportuno prodotto.

Proprietà 2.3 (regola del prodotto, o probabilità composta) Date affermazioni $A$, $B$ e l’informazione nota $I$, vale \[ P( A \text{ e } B | I ) = P( A | I )P(B | A, I). \]

L’interpretazione di questa formula è la seguente: dovendo attribuire il grado di fiducia che entrambe $A$ e $B$ siano vere, il robot può calcolare prima la probabilità che $A$ sia vera e poi, supponendo che anche $A$ sia vera (e quindi la si aggiunge all’informazione nota $I$), calcola la probabilità che sia vera $B$, e infine moltiplica i due risultati.

Sottointendendo l’informazione $I$, si trova la scrittura più agevole \[ P( A \text{ e } B ) = P( A )P(B | A ). \]

Remark. Dividendo la regola del prodotto per $P(A|I)$ (supponendo che non sia zero), si trova la formula di Kolmogorov per la probabilità condizionata: \[ P(B|A,I ) = \frac{ P(A \text{ e } B|I )}{P(A|I)}.\]

Questo formula si può interpretare tramite diagrammi: la probabilità di $B$ condizionata rispetto ad $A$ si ottiene come area relativa dell’intersezione tra i diagrammi. Condizionando su $A$ è come se si eliminasse tutto ciò che è al di fuori di $A$, che quindi diventa il nuovo universo. Chiaramente, bisogna anche dividere per $P(A)$ per mantenere la normalizzazione $P(A|A) = 1$ (geometricamente, è come se l’immagine venisse riscalata).

Figura 2.9: Rappresentazione della formula di Kolmogorov.

Dalla regola del prodotto, si ottiene la seguente variante della formula di decomposizione, che possiamo chiamare per distiguerla come formula di “disintegrazione” (in inglese nota anche come law of total probability).

Proposizione 2.3 (formula di disintegrazione) Sia $(A_i)_{i=1}^n$ un sistema di alternative rispetto ad una informazione $I$. Allora, data una affermazione $B$ (qualsiasi), si può decomporre \[ P(B|I) = \sum_{i=1}^n P(B | A_i, I) P(A_i | I). \]

La dimostrazione a partire dalla formula di decomposizione è immediata: basta osservare che, per ciascun $i \in \cur{1, \ldots, n}$, vale per la formula del prodotto \[ P(B | A_i, I) P(A_i | I) = P(B, A_i | I). \]

Concludiamo questa sezione notando che per induzione matematica (ossia ripetendo l’applicazione della formula del prodotto), si può ottenere la seguente estensione al caso di $n$ affermazioni qualsiasi $B_1$, $B_2$, … $B_n$: \[ P( \text{tutte le $B_i$ sono vere}) = P(B_1) P(B_2|B_1) P(B_3| B_1, B_2) \ldots P(B_n |B_1,B_2, \ldots, B_{n-1}).\]

2.4.1 Esercizi

Esercizio 2.7 Dedurre la proprietà di monotonia della probabilità dalla regola del prodotto.

Esercizio 2.8 Scrivere esplicitamente la regola del prodotto generalizzata nei casi $n=3, 4, 5$.