B.3 Caso continuo
Accenniamo infine al caso continuo, che corrisponde ad un passaggio al limite in cui i tempi \(t \in \mathbb{Z}\) sono pensati come equidistanziati di passo \(\Delta t \to 0\). Ne segue che per descrivere \(g\) sono necessarie frequenze in intervalli via via più ampi e nel limite la trasformata di Fourier di \[g : \R \to \mathbb{C}\] è definita come \[ \hat{g}: \R \to \mathbb{C}, \quad \hat{g}(\xi) := \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-2\pi i t \xi} d t,\] purché l’integrale converga, ad esempio se \[ \int_{-\infty}^\infty |g(t)| d t < \infty.\] Anche in questo caso (ma è meno immediato) si può mostrare una formula di inversione \[ g(t) = \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(\xi) e^{2 \pi i t \xi}d \xi,\] (purché l’integrale abbia senso) e l’identità dell’energia \[ \int_{-\infty}^\infty |g(t)|^2 d t= \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{g}(\xi)|^2 d \xi.\] Anche nel caso continuo si può introdurre la convoluzione con un filtro \(f: \R \to \mathbb{C}\), \[ g * f(t) = \int_{-\infty}^\infty g(t-s)f(s) d s,\] e nella base delle frequenze l’operazione si riduce ad un prodotto: \[ \widehat{ g * f}(\xi) = \hat g (\xi) \hat f (\xi).\]
Remark. Come nel caso di tempi discreti, si può utilizzare la frequenza angolare \(\omega = 2 \pi \xi\) come variabile per la trasformata di Fourier. Questa è in effetti la variabile utilizzata solitamente per la definizione della funzione caratteristica di una variabile aleatoria, come descritta nella Sezione 4.7.
Ringrazio gli studenti Matteo Di Pietro, Francesco Paolo Carmone, Matteo Mariani per le segnalazioni.↩︎
si veda l’esempio della fallacia della congiunzione.↩︎
un teorema non rimane vero in generale se scambiamo ipotesi con tesi↩︎
è tradizione indicare con lettere maiuscole \(X\), \(Y\), \(Z\), \(T\) ecc. le grandezze e con le rispettive lettere minuscole \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) i possibili valori↩︎
il concetto propriamente matematico è infiniti numerabili↩︎
o funzione di massa di probabilità, in inglese probability mass function, abbreviato con pmf↩︎
o funzione di densità di probabilità, in inglese probability density function, abbreviato pdf↩︎
attenzione: è importante che l’informazione riguardi la conoscenza esatta del valore delle \(X_j\), ossia \(X_j = x_j\), e non eventi del tipo \(X_j \in U_j\), altrimenti il discorso non vale.↩︎
https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_a_priori_coniugata↩︎
si veda l’Appendice @ref(app_fourier) per richiami sull’argomento e le notazioni↩︎
Si tratta solo un cambio di variabile per non avere i coefficienti \(2 \pi\) nelle formule d’ora in avanti. A volte si indica anche con \(t\) invece di \(\omega\), per non confondersi con gli elementi dell’insieme “universo” \(\Omega\) di Kolmogorov, con cui in questo caso non ha nulla a che fare. Qui usiamo la notazione \(\omega\) per ricordare che rappresenta una frequenza angolare e non c’è il rischio di confusione perché non ci riferiamo mai agli assiomi di Kolmogorov↩︎
in questa sezione torniamo ad indicare con \(X\) delle variabili aleatorie generali, mentre nella sezione precedente rappresentavano i predittori, di cui abbiamo visto non è necessario supporre la gaussianità↩︎
ci limitiamo al caso delle catene perché è l’unico che interviene negli esercizi, per i processi a salti in realtà il problema è anche più semplice↩︎
più precisamente è detto legge debole dei grandi numeri↩︎