3.9 Problemi

Esercizio 3.15 Si considerino \(10\) variabili aleatorie \(X_1\), …, \(X_{10}\) indipendenti tra loro, tutte con densità continua uniforme su un intervallo \([a,b] \subseteq \R\). Si ponga \(X=(X_1, X_2, \ldots, X_{10})\).

  1. Supponendo che \(a\), \(b\) non siano noti, si determinino le stime di massima verosimiglianza \(a_{\mle}\), \(b_{\mle}\) avendo osservato dei valori \(X=(x_1, \ldots, x_{10})\).
  2. Supponendo invece che \(a=0\) sia noto, si ponga invece \(B=b\) una variabile aleatoria a priori (ossia prima di osservare le \(X_i\)) anch’essa uniforme su un intervallo \([0,10]\). Si osservano poi i valori \[ X=(1,3,5,6,3,3,5,8,7,1),\] determinare la densità di \(B\) a posteriori.

Esercizio 3.16 Un’urna contiene una frazione \(X\) di palline rosse (le rimanenti sono blu), e si suppone inizialmente che \(X\) sia distribuita uniformemente su \([0,1]\). Si effettuano poi estrazioni con rimpiazzo dall’urna.

  1. Avendo osservato in \(n\) estrazioni una precisa sequenza contenente \(r\) palline rosse e le rimanenti \(n-r\) blu, scrivere la densità a posteriori di \(X\) e calcolare la stima di massimo a posteriori.

  2. Dopo aver osservato \(n\) estrazioni di cui \(r\) palline rosse, calcolare la probabilità che all’estrazione \(n+1\) si estragga una pallina rossa.

Esercizio 3.17 Si considerino due variabili \(X_1\), \(X_2\) indipendenti aventi legge Poisson di parametri \(\lambda_1= 10\), \(\lambda_2=3\). Supponendo di osservare che \(X_1+X_2=12\) determinare la densità di \(X_1\) e calcolare la stima di massimo a posteriori.

Esercizio 3.18 Un segnale è trasmesso tramite una stringa di bit (ossia cifre binarie \(0\) oppure \(1\)) attraverso un canale di comunicazione. Ciascuna cifra trasmessa è affetta da un rumore che ha il seguente effetto: se si trasmette \(0\), allora si riceve \(1\) con probabilità \(f_0\), se si trasmette \(1\) allora si riceve \(0\) con probabilità \(f_1\). Tutto ciò avviene per ciascuna cifra trasmessa, indipendentemente dalle altre. I parametri \(f_0\) ed \(f_1\) non sono completamente noti, ma hanno densità continue a priori \[ P( F_0 = f_0 ) \propto f_0(1-f_0)^{9}, \quad P( F_1 = f_1 ) \propto f_1^4(1-f_1)^{6}.\] Prima di trasmettere il segnale, che consiste di un solo bit, ci si è accordati nel trasmettere una sequenza di controllo che consiste di \(10\) zeri ripetuti seguiti da \(10\) uno ripetuti, in modo da rendersi conto se il rumore è eccessivo. Dal punto di vista del ricevente, il segnale consiste in un bit casuale con probabilità uniforme.

  1. Supponendo che il ricevente trascuri completamente la sequenza di controllo, calcolare la probabilità che riceva il segnale correttamente.

  2. Supponendo che invece il ricevente ottenga nella sequenza di controllo \(10\) zeri seguiti da \(5\) uno e altri \(5\) zeri, come cambia la probabilità che riceva il segnale correttamente?