B.2 Caso discreto

Supponiamo ora di osservare un segnale definito su un tempo infinito discreto $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ (è una situazione ideale ovviamente). L’analoga trasformazione stavolta definisce la trasformata di Fourier a tempi discreti \[ \hat{g} : [0,1] \to \mathbb{C}, \quad \xi \mapsto \hat{g}(\xi) := \sum_{t \in \mathbb{Z}} g(t) e^{2 \pi i t \xi},\] purché la serie converga, ad esempio se \[ \sum_{t \in \mathbb{Z}} |g(t)| < \infty.\]

Remark. L’intuizione per passare dal finito al discreto è di cambiare la variabile frequenza nel caso discreto, ossia di passare da $\xi$ a $\xi/n$, in modo che il dominio sia l’intervallo discreto $\cur{0,1/n, 2/n, \ldots, (n-1)/n}$. In questo modo, per $n \to \infty$ si ottiene una funzione definita sull’intervallo continuo di frequenze $[0,1]$. Come nel caso finito, si può utilizzare la frequenza angolare $\omega = 2 \pi \xi$ per parametrizzare la trasformata di Fourier. In questo modo tuttavia appare un fattore $1/2\pi$ nella formula di inversione (dovuto al cambio di variabile nell’integrale).

Anche senza ricorrere all’intuizione sopra, si può dimostrare l’analogo discreto della formula di inversione, ossia \[ g(t) = \int_0^1 \hat{g}(\xi) e^{2 \pi i t \xi}d \xi,\] e l’identità dell’energia \[ \sum_{t \in \mathbb{Z}} |g(t)|^2 = \int_0^1 |\hat{g}(\xi)|^2 d \xi.\] Senza entrare nei dettagli, il punto chiave è la relazione di ortogonalità \[ \int_0^1 e^{2 \pi i s \xi} e^{-2 \pi i t \xi} d \xi = \begin{cases} 1 & \text{se $s=t$,} \\ 0 & \text{altrimenti,}\end{cases}\] che si dimostra ad esempio integrando per parti. Le due relazioni sopra seguono ripercorrendo la dimostrazione del caso finito sfruttando questa ortogonalità.

Nel caso di tempi discreti la trasformata di Fourier è particolarmente utile perché è un cambio di coordinate che si “comporta” bene con le operazioni di traslazione. Se infatti definiamo l’operatore di ritardo $L$ (in inglese lag), che trasforma $g$ nel segnale \[ t \mapsto (Lg)(t) = g(t-1),\] allora \[ \widehat{ Lg} (\xi) = \sum_{t \in \mathbb{Z}} g(t-1)e^{-2 \pi i t \xi} = e^{-2 \pi i \xi} \hat{g}(\xi).\] In termini fisici, la traslazione (o ritardo) fa acquisire una fase alla trasformata.

Il punto è che iterando l’operazione, la fase si accumula: posta $L^s g(t) = g(t-s)$, ossia $L$ applicata $s$-volte a $g$, si ha \[\widehat{ L^s g}(\xi) = e^{-2 \pi i s \xi } \hat{g}(\xi).\] Una operazione piuttosto naturale quando si intepreta $g$ come un segnale è la convoluzione con un “filtro” $f$, ossia una ulteriore funzione $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ (con delle caratteristiche opportune). La definizione di convolution $g*f$ è data dalla seguente formula: \[ (g * f) (t ) = \sum_{s \in \mathbb{Z}} g(t-s) f(s).\] Passando alla trasformata di Fourier, possiamo scrivere \[ \begin{split} \widehat{g * f}(\xi) & = \widehat{ \sum_{s \in \mathbb{Z}} g(\cdot-s) f(s)} (\xi) \\ & = \sum_{s \in \mathbb{Z}}\widehat{ g(\cdot-s)} (\xi) f(s)\\ & = \sum_{s \in \mathbb{Z}} \widehat{ L^s g} (\xi) f(s)\\ & = \sum_{s \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi i s} \hat g (\xi) f(s)\\ & = \hat g (\xi) \sum_{s \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi i s} \hat g (\xi) f(s) = \hat{g}(\xi) \hat{f}(\xi).\end{split}\] In altri termini, nelle coordinate date dalla trasformata di Fourier (la base delle frequenze) la convoluzione con un filtro $f$ si riduce al prodotto con la sua trasformata di fourier $\hat{f}$.

In particolare, dall’identità dell’energia segue che \[ \sum_{ t \in \mathbb{Z}} |g * f|^2(t) = \int_0^1 |\hat{g}|^2(\xi)|\hat{f}|^2(\xi ) d \xi.\]