2.10 Problemi

Esercizio 2.19 Si consideri un test per una certa infezione virale (può trattarsi di un virus attack al computer o di un’infezione umana). Il test è affidabile al \(95\%\) per i pazienti infetti e al \(99\%\) per i pazienti sani. Se la probabilità che un soggetto sia infetto è \(4\%\), qual è il grado di affidabilità del test? In altri termini, se il test da esito positivo, qual è la probabilità che il soggetto sia davvero infetto?

Esercizio 2.20 Il \(90\%\) dei voli parte in tempo. L’\(80\%\) dei voli arriva in tempo. Il \(75\%\) parte in tempo e arriva in tempo.

  1. Attendi un volo che è partito in tempo. Qual è la probabilità che arriverà in tempo?
  2. Attendi un volo che è arrivato in tempo. Qual è la probabilità che è partito in tempo?
  3. Sono tali eventi, cioè arrivare e partire in tempo, indipendenti?

Esercizio 2.21 Un’urna contiene una pallina blu ed \(R\) palline rosse, di cui però il robot non conosce esattamente il numero. Sa solamente che \(R \in \cur{0,1, \ldots, 10}\).

  1. Basandosi sull’informazione sopra, quale probabilità attribuisce all’evento \(A_i = \text{``nell'urna sono presenti $i$ palline rosse''}\)?
  2. Supponiamo che si effettui una prima estrazione dall’urna, e che la palline estratta risulti blu. Come cambia la probabilità degli eventi \(A_i\) se questa informazione viene comunicato al robot?
  3. Supponiamo che si effettuino due estrazioni dall’urna, con rimpiazzo, e che entrambe le palline risultino blu. Come cambia la probabilità degli eventi \(A_i\) se il robot viene informato di questo evento?
  4. Supponiamo che qualcuno effettuino \(n\ge1\) estrazioni dall’urna, con rimpiazzo, e tutte le palline estratte risultino blu. Come cambia la probabilità degli eventi \(A_i\)?

Esercizio 2.22 (Paradosso di Monty hall)4 Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero \(1\), e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la \(3\), rivelando una capra. Quindi ti domanda: ``Vorresti scegliere la numero \(2\)?’’ Ti conviene cambiare la tua scelta originale?