109AA - Equazioni ellittiche

2023-2024

Corso della Laurea Magistrale in Matematica

Università di Pisa


Questo corso è dedicato alla teoria delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. I temi principali sono la regolarità ed il comportamento locale delle soluzioni; dimostereremo in particolare il teorema di De Giorgi (sulla regolarità Holder delle soluzioni) e le stime di Schauder. Useremo sia argomenti classici che strumenti moderni come formule di monotonia e tecniche di blow-up.

I prerequisiti sono i corsi di Analisi 3 e Spazi di Sobolev.

Il corso ha una durata di 42 ore e si terrà nel secondo semestre.

Orario


Giovedì 14:00 - 16:00 (aula O1) e venerdì 11:00 - 13:00 (aula N);

Esame


Esame orale classico.

Programma


Capitolo 1. Esistenza e proprietà globali delle soluzioni deboli
Formulazione debole di problemi ellittici.
Principio del massimo debole e teoremi di confronto.
Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni.
Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano con condizioni di Dirichlet.
Teorema della regolarità ellittica.

Capitolo 2. Proprietà della media e le sue conseguenze
Teoremi della media per soprasoluzioni e sottosoluzioni.
Regolarità interna delle funzioni armoniche.
Continuità Hölder delle soluzioni (all'interno e fino al bordo) via la proprietà della media.
Funzioni subarmoniche e le loro proprietà.
Stima del gradiente per le funzioni armoniche.
Teorema di Liouville.
Disuguaglianza di Harnack per le funzioni armoniche.
Bounded slope condition e regolarità Lipschitz delle funzioni armoniche fino al bordo.
Funzioni armoniche con dato Lipschitz al bordo.

Capitolo 3. Operatori ellittici in forma di divergenza
Disuguaglianza di Caccioppoli; oscillazione e continuità Hölder; teorema di De Giorgi.
Stime di Schauder.
Continuità Lipschitz delle soluzioni all'interno e fino al bordo. Metodo del blow-up.
Formule di monotonia e disuguaglianza epiperimetrica.
Differenziabilità delle soluzioni all'interno e fino al bordo.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Soluzioni deboli - introduzione


Capitolo 1. Parte 2. Limitatezza delle soluzioni


Capitolo 1. Parte 3. Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet


Capitolo 2. Parte 1. Teoremi della media per soprazoluzioni e sottosoluzioni


Capitolo 2. Parte 2. Regolarità Hölder all'interno


Capitolo 2. Parte 3. Regolarità Hölder fino al bordo


          Capitolo 2. Parte 3A. Una caratterizzazione dello spazio H01


Capitolo 2. Parte 4. Funzioni subarmoniche

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - giovedì 29/02/2023, dalle 14:00 alle 16:00.
Introduzione al corso. Soluzioni deboli di problemi ellittici in forma di divergenza.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.


Lezione 2 - venerdì 01/03/2023, dalle 11:00 alle 13:00.
Iterazione di De Giorgi. Limitatezza delle soluzioni di PDE ellittiche con condizioni di Dirichlet. Limitatezza delle autofunzioni con condizioni di Dirichlet.


Lezione 3 - giovedì 07/03/2023, dalle 14:00 alle 16:00.
Spazi di Sobolev su aperti con la stima di densità esterna - caratterizzazione e approssimazione con soluzioni di PDE ellittiche.


Lezione 4 - venerdì 08/03/2023, dalle 11:00 alle 13:00.
Sottosoluziono e soprasoluzioni, funzioni subarmoniche e superarmoniche. Approssimazione con funzioni continue. Teorema della media. Punti di Lebesgue e definizione puntuale.


Lezione 5 - giovedì 14/03/2023, dalle 14:00 alle 16:00.
Regolarità Holder interna.


Lezione 6 - venerdì 15/03/2023, dalle 11:00 alle 13:00.
Regolarità Holder fino al bordo per soluzioni su aperti con la stima di densità esterna.


Lezione 7 - giovedì 21/03/2023, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni subarmoniche - definizioni equivalenti: proprietà della media e funzioni subarmoniche in senso delle distribuzioni. Punti di Lebesgue, definizione puntuale e semicontinuità. Esempio di una funzione subarmonica con energia finita e con valore inifinito in zero.


Lezione 8 - venerdì 22/03/2023, dalle 11:00 alle 13:00.
Funzioni olomorfe e funzioni subarmoniche - il logaritmo del modulo di una funzione olomorfa è una funzione subarmonica. Teorema della regolarità ellittica interna.


Lezione 9 - giovedì 28/03/2023, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzioni armoniche. Esistenza, unicità, principio del massimo debole. Bounded slope condition.

Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it