Analisi Matematica II

2022-2023

Università di Pisa

Corso di Laurea - Ingegneria dell'Energia



Analisi Matematica II è il primo modulo del corso annuale

717AA - Analisi Matematica II e Calcolo Numerico.

Il modulo Analisi Matematica II ha una durata di 60 ore e si terrà nel primo semestre.

Prima lezione: mercoledì 28 settembre 2022, ore 15:00, aula F1.

Ultima lezione: lunedì 19 dicembre 2022, ore 14:00, aula A12.

Ricevimento: lunedì, 17:00-18:00, sul gruppo teams del corso.

Voto


Il voto finale di Analisi Matematica II e Calcolo Numerico sarà ottenuto come media dei voti dei due moduli Analisi Matematica II e Calcolo Numerico. Solo la media finale potrà essere registrata sul libretto elettronico. Visto che i voti di ogni modulo non vengono registrati, ma vengono conservati in database gestiti in maniera indipendente dai singoli docenti, non possiamo garantire una conservazione di lunga durata. Al momento non è prevista una scadenza netta, ma è fortemente consigliato di sostenere gli esami relativi a entrambi i moduli nel corso dello stesso anno accademico. Per esempio, gli studenti che hanno sostenuto l'esame di Analisi II tra dicembre 2020 e settembre 2021 sono consigliati di sostenere l'esame di Calcolo Numerico tra giugno 2021 e maggio 2022.

Esame


L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso. Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato. In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto.

Orario


Orario delle lezioni:  mercoledì 15:00-17:00 (aula F1), venerdì 08:30-11:30 (aula F1).


Gruppo Teams - 717AA 22/23 ANALISI MATEMATICA II E CALCOLO NUMERICO [IGT-L]

Programma


Capitolo 1. Elementi di topologia.

Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi compatti e compatti per successioni. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.


Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.

Funzioni derivabili e derivate parziali. Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi. Differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti critici. Massimi e minimi relativi e assoluti. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Matrici definite positive e matrici definite negative. Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa. Massimi e minimi relativi sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema della funzione inversa.


Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.

Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme. Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione. Prodotto esterno. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiuse che non è esatta. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti. Concatenamento e curve opposte. Integrale di 1-forme su curve. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati. Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.


Capitolo 4. Integrazione.

Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato. Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Lo spazio euclideo


Capitolo 1. Parte 2. Aperti e chiusi


Capitolo 1. Parte 3. Parte interna, chiusura e bordo


Capitolo 1. Parte 4. Insiemi compatti


          Capitolo 1. Parte 4.0. Estremo superiore


          Capitolo 1. Parte 4.1. Teorema di Weierstrass


Capitolo 1. Parte 5. Insiemi connessi per archi


Capitolo 1. Parte 6. Derivate parziali


Capitolo 1. Parte 7. Esercizi di topologia


Capitolo 2. Parte 1. Limiti di funzioni


Capitolo 2. Parte 2. Limiti direzionali


Capitolo 2. Parte 3. Calcolo di limiti in coordinate polari


Capitolo 2. Parte 4. Limsup e liminf


Capitolo 2. Parte 5. Esercizi su limsup e liminf


Capitolo 2. Parte 6. o-piccolo e O-grande


Capitolo 2. Parte 7. Sviluppi di Taylor al primo e secondo ordine


Capitolo 3. Parte 1. Funzioni differenziabili. Definizione, esempi e prime proprietà


            Capitolo 3. Parte 1.1. Sulle nozioni di o-piccolo e della differenziabilità


Capitolo 3. Parte 2. Teorema del differenziale totale


            Capitolo 3. Parte 2.1. Gli spazi C0, C1 e C2


Capitolo 3. Parte 3. Esempi


Capitolo 3. Parte 4. Derivabilità lungo cammini e derivate direzionali


Capitolo 3. Parte 5. Teorema di Schwarz


Capitolo 3. Parte 6. Teorema di Taylor


Capitolo 3. Parte 7. Massimi e minimi relativi e punti di sella


            Capitolo 3. Parte 7.1. Matrici simmetriche


            Capitolo 3. Parte 7.2. Minimi relativi e derivate seconde direzionali


Capitolo 3. Parte 8. Massimi e minimi assoluti


Capitolo 3. Parte 9. Massimi e minimi su insiemi compatti


Capitolo 3. Parte 10. Teorema della funzione implicita e moltiplicatori di Lagrange


Capitolo 5. Parte 1. Forme differenziali


Capitolo 5. Parte 2. Forme chiuse, forme esatte e campi vettoriali


Capitolo 5. Parte 3. Le forme esatte sono chiuse


Capitolo 5. Parte 4. Esercizi sulle forme differenziali


Capitolo 5. Parte 5. Integrazione di 1-forme su curve parametriche


Capitolo 5. Parte 6. Il lemma di derivazione sotto il segno di integrale


Capitolo 5. Parte 7. 1-forme chiuse su rettangoli


Capitolo 5. Parte 8. Le 1-forme chiuse su aperti stellati sono esatte


Capitolo 5. Parte 9. Esempio di una forma chiusa che non sia esatta


            Capitolo 5. Parte 9.1. Un altro esempio di forma chiusa non esatta


            Capitolo 5. Parte 9.2. Forme chiuse nel piano meno l'origine


            Capitolo 5. Parte 9.3. Esercizio sulle forme chiuse


Capitolo 6. Parte 1. Funzioni integrabili secondo Riemann


            Capitolo 6. Parte 1.1. Esercizi


Capitolo 6. Parte 2. Domini normali


Capitolo 6. Parte 3. Insiemi misurabili


            Capitolo 6. Parte 3.1. Parte interna, chiusura e frontiera di un insieme misurabile


Capitolo 6. Parte 4. Integrazione su insiemi misurabili


            Capitolo 6. Parte 4.1. Integrazione su insiemi misurabili - un teorema più generale


Capitolo 6. Parte 5. Formula di Fubini


            Capitolo 6. Parte 5.1. Esercizi


            Capitolo 6. Parte 5.2. L'area di un disco


Capitolo 6. Parte 6. Integrazione di 1-forme sul bordo di un dominio normale


Capitolo 6. Parte 7. Formule di Gauss-Green su domini normali


            Capitolo 6. Parte 7.1. Formule di Gauss-Green sul disco


Capitolo 6. Parte 8. Formula di Stokes su domini normali


Capitolo 6. Parte 9. Integrazione di funzioni su curve


Capitolo 6. Parte 10. Integrazione di funzioni sul bordo di un dominio normale


Capitolo 6. Parte 11. Teorema della divergenza su domini normali


            Capitolo 6. Parte 11.1. Teorema della divergenza su domini regolari


Capitolo 6. Parte 12. Cambiamento di variabili in integrali doppi


Capitolo 6. Parte 13. Integrali impropri. Integrale della gaussiana.


Capitolo 6. Parte 14. Area del grafico di una funzione di due variabili.


Capitolo 6. Parte 15. Integrazione su grafici. Esercizi ed esempi.


Capitolo 6. Parte 16. Integrazione su superfici parametriche.

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - mercoledì 28/09, 11:30-13:30. Introduzione al corso (programma, sito, esami). Lo spazio Euclideo d-dimensionale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare. Successioni convergenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1.


Lezione 2 - venerdì 30/09, 8:30-11:30. Successioni di Cauchy e completezza. Densità dei vettori con coordinate razionali. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1 e Parte 2.


Lezione 3 - mercoledì 5/10, 15:00-17:00. Chiusura, parte interna e bordo di un insieme. Definizioni, esempi, esercizi.
Dispense: Capitolo 1, Parte 3.


Lezione 4 - venerdì 7/10, 8:30-11:30. Insiemi compatti per successioni. Un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso e limitato. Definizione di limite di una funzione. Definizione di funzione continua. Massimi e minimi di funzioni su insiemi compatti: teorema di Weierstrass. Curve (archi) nel piano e nello spazio ed il loro sostegno: definizione ed esempi. Insiemi connessi per archi: definizione. Funzioni continue su insiemi connessi per archi: teorema del valore intermedio. Funzioni derivabili e derivate parziali: definizione ed esempi. Il vettore delle derivate parziali (gradiente). Una funzione definita su un aperto connesso per archi che ha gradiente identicamente nullo è costante.
Dispense: Capitolo 1, Parte 4, Parte 4.1, Parte 5, Parte 6.


Lezione 5 - mercoledì 12/10, 15:00-17:00. Limiti direzionali. Definizione ed esempi. Esempio di una funzione derivabile ma non continua. Un metodo generale per il calcolo dei limiti.
Dispense: Capitolo 2, Parte 1, Parte 2, Parte 3.


Lezione 6 - venerdì 14/10, 8:30-11:30. Calcolo di limiti in coordinate polari. Esercizi ed esempi. Definizione di limsup e liminf. Metodi ed esempi di calcolo di limsup e liminf.
Dispense: Capitolo 1, Parte 3 e Parte 4.


Lezione 7 - mercoledì 19/10, 15:00-17:00. o-piccolo e O-grande in dimensione 1. Definizione, esempi, proprietà. o-piccolo in dimensione 2. Definizione ed esempi.
Dispense: Capitolo 2, Parte 6.


Lezione 8 - venerdì 21/10, 8:30-11:30. O-grande in dimensione due. Definizione. Proprietà di o-piccolo e O-grande in dimensione due. Esempi. Sviluppo di Taylor al secondo ordine in dimensione due - definizione. Unicità dello sviluppo di Taylor. Esempi di sviluppi di Taylor.
Dispense: Capitolo 1, Parte 6 e Parte 7.


Lezione 9 - mercoledì 26/10, 15:00-17:00. Differenziabilità. Definizione. Le funzioni differenziabili sono derivabili. Unicità del gradiente. Esempi. Interpretazione geometrica della differenziabilità.
Dispense: Capitolo 3, Parte 1.


Lezione 10 - venerdì 28/10, 8:30-11:30. Somma e prodotto di funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Le funzioni differenziabili sono continue. Derivate direzionali: definizione. Le funzioni differenziabili ammettono derivate direzionali in ogni direzione. Esempi.
Dispense: Capitolo 3, Parte 1, Parte 2, Parte 2.1, Parte 3.


Lezione 11 - mercoledì 2/11, 15:00-17:00. Esempio di una funzione continua e derivabile in tutte le direzione, ma non differenziabile. Differenziabilità lungo cammini: differenziabilità di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Esempi. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz.
Dispense: Capitolo 3, Parte 4, Parte 5.


Lezione 12 - venerdì 4/11, 8:30-11:30. Teorema di Taylor al secondo ordine. Definizioni: massimi e minimi relativi; punti critici; punti di sella; matrici definite positive, negative, semi-definite, indefinite. Condizioni necessessarie e sufficienti per l'esistenza di un massimo/minimo relativo in un punto.
Dispense: Capitolo 3, Parte 6, Parte 7.


Lezione 13 - mercoledì 9/11, 15:00-17:00. Criteri per stabilire se una matrice simmetrica è definita positiva, definita negativa, semi-definita positiva, semi-definita negativa, indefinita. Massimi e minimi relativi e punti di sella: esercizi.
Dispense: Capitolo 3, Parte 7, Parte 7.1.


Lezione 14 - venerdì 11/11, 8:30-11:30. Moltiplicatori di Lagrange - esercizi. Teorema della funzione implicita.
Dispense: Capitolo 3, Parte 9, Parte 10.


Lezione 15 - mercoledì 16/11, 15:00-17:00. Forme differenziali e applicazioni multilineari alternanti. Prodotto esterno. Definizioni ed esempi in dimensione due e tre.
Dispense: Capitolo 5: Parte 1, Parte 2.


Lezione 16 - venerdì 18/11, 8:30-11:30. Differenziale di una funzione e derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte in dimensione due e tre. Differenziale di una 1-forma in dimensione tre; rotore di un campo. Differenziale di una 2-forma in dimensione tre; divergenza di un campo. Le forme esatte sono chiuse. Integrazione di 1-forme su curve; l'integrale di una 1-forma non diepende dalla parametrizzazione; integrazione su curve opposte. Integrazione di una 1-forma esatta su una curva chiusa. Esempio di una 1-forma chiusa, ma non esatta.
Dispense: Capitolo 5: Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5, Parte 9.


Lezione 17 - mercoledì 23/11, 15:00-17:00. Teorema di Cantor. Derivazione sotto il segno di integrale. Le 1-forme chiuse su un rettangolo sono esatte. Le 1-forme chiuse su un aperto stellato sono esatte.
Dispense: Capitolo 5: Parte 6, Parte 7, Parte 8.


Lezione 18 - venerdì 25/11, 8:30-11:30. Integrazione secondo Riemann. Somme di Riemann superiori ed inferiori. Funzioni integrabili su rettangoli. Criterio di integrabilità. Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann (l'indicatrice dell'insieme dei punti con coordinate razionali). Esempio di una funzione integrabile secondo Riemann (l'indicatrice dell'insieme dove x=y). Insiemi misurabili secondo Riemann. Domini normali: definizione. I domini normali sono misurabili.
Dispense: Capitolo 6: Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5, Parte 9.


Lezione 19 - mercoledì 30/11, 15:00-17:00. Insiemi di misura nulla. Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla.
Dispense: Capitolo 6: Parte 3, Parte 3.1.


Lezione 20 - venerdì 02/12, 8:30-11:30. Unione e intersezione di insiemi misurabili. Integrazione di funzioni su domini misurabili. Integrabilità delle funzioni continue su insiemi misurabili. Teorema di Fubini (senza dimostrazione). L'area del disco di raggio R nel piano. Calcolo di integrali su domini normali: esercizi. Formule di Gauss-Green e formula di Stokes nel piano.
Dispense: Capitolo 6: Parte 4, 4.1, 5, 5.1, 5.2, 6, 7, 8.


Lezione 21 - mercoledì 07/12, 15:00-17:00. Dimostrazione delle formule di Gauss-Green. L'area di un settore di disco.
Dispense: Capitolo 6: Parte 7, Parte 8.


Lezione 22 - venerdì 09/12, 8:30-11:30. Formula di Stokes su domini regolari. Esempio di calcolo dell'integrale curvilineo di una 1-forma chiusa sul bordo di un'ellisse. Domini regolari. Vettore n orlmale uscente. Orientazione delle curve che parametrizzano il bordo di un dominio regolare. Integrazione di funzioni scalari su curve. Lunghezza di una curva. Integrazione di funzioni su curve equivalenti. Enunciato del teorema della divergenza in dimensione due.
Dispense: Capitolo 6: Parte 9, 10, 11.


Lezione 23 - mercoledì14/12, 15:00-17:00. Dimostrazione del teorema della diveregenza. Esercizi ed esempi. Cambiamento delle variabili in integrali doppi. Matrice jacobiana. Rotazioni nel piano. L'area di un'ellisse. Integrazione di funzioni dispari su insiemi simmetrici.
Dispense: Capitolo 6: Parte 11, Parte 12.


Lezione 22 - lunedì 19/12, 14:00-17:00. Integrazione in coordinate polari. Integrale della gaussiana. Volume di una palla in R3. Dimostrazione della formula del cambio delle variabili in dimensione due (usando la formula di Stokes). Integrazione su superfici. L'area di un grafico, l'area della sfera, l'area di un cono e di un paraboloide.
Dispense: Capitolo 6: Parti 12, 13, 14, 15, 16.

Calendario accademico

Orario delle lezioni

Titolare del modulo: Bozhidar Velichkov

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