Questo corso è un'introduzione all'Analisi Funzionale ed agli Spazi di Sobolev.

Il corso ha una durata di 72 ore (11 crediti).

Lunedì 14:00 - 16:00, martedì 16:00 - 18:00, venerdì 16:00 - 18:00.

Ricevimento: martedì 18:00 - 19:00.

Scritto e orale.

Capitolo 1. Spazi di Banach, funzionali lineari continui, spazio duale, spazio biduale, spazi riflessivi, teoremi di Hahn-Banach. Gli spazi L^p ed i loro spazi duali: il duale di L^p nel caso ∞>p>1, il duale di L¹ è L^∞, il duale di L^∞ non è L¹.

Lezione 1 - venerdì 26/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Introduzione al corso. Spazi di Banach, funzionali lineari continui su spazi di Banach. Definizioni ed esempi.

Lezione 2 - lunedì 29/09/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzionali lineari continui su L^p. Lemma di Clarkson.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso 2≥p>1.

Lezione 3 - martedì 30/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso p≥2. Il duale di L¹ è L^∞.
Teorema di Hahn-Banach - versione analitica - parte 1 - il lemma principale.

Lezione 4 - venerdì 3/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Esercizi su operatori lineari continui, norma operatoriale, applicazioni lineari continue tra spazi di Banach e la loro norma.

Lezione 5 - lunedì 6/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema di Hahn-Banach I - estensione di un operatore lineare limitato. Teorema di Hahn-Banach II - ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Banach è contenuto nell'insieme degli zeri di un operatore lineare continuo non banale. Il duale di L^∞ non è L¹. Spazio duale, norma operatoriale, completezza dello spazio duale.

Lezione 6 - martedì 7/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Spazio biduale. Immersione isometrica di uno spazio di Banach nel suo biduale. Spazi riflessivi - definizione ed esempi; L^∞ e L¹ non sono riflessivi. Convergenza debole e convergenza debole-star. Unicità del limite debole. Un criterio per la convergenza debole di una successione limitata. Convergenza debole in L^p - traslazioni, funzioni oscillanti.