Questo corso è un'introduzione all'Analisi Funzionale ed agli Spazi di Sobolev.

Il corso ha una durata di 72 ore (11 crediti).

Lunedì 14:00 - 16:00, martedì 16:00 - 18:00, venerdì 16:00 - 18:00.

Ricevimento: martedì 18:00 - 19:00.

Scritto e orale.

Capitolo 1. Spazi di Banach, funzionali lineari continui, spazio duale, spazio biduale, spazi riflessivi, teoremi di Hahn-Banach. Gli spazi L^p ed i loro spazi duali: il duale di L^p nel caso ∞>p>1, il duale di L¹ è L^∞, il duale di L^∞ non è L¹.

Capitolo 2. Convergenza debole e convergenza debole-star. Proprietà della convergenza debole, limitatezza delle successioni debolmente convergenti, semincontinuità della norma. Lemma di Baire e teorema di Banach-Steinhaus. Topologia debole e topologia debole-star. Metrizzabilità della topologia debole. Teorema di Tychonoff e teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi di Banach separabili e spazi duali separabili. Lo spazio L¹ non è uno spazio duale.

Lezione 1 - venerdì 26/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Introduzione al corso. Spazi di Banach, funzionali lineari continui su spazi di Banach. Definizioni ed esempi.

Lezione 2 - lunedì 29/09/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Funzionali lineari continui su L^p. Lemma di Clarkson.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso 2≥p>1.

Lezione 3 - martedì 30/09/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso p≥2. Il duale di L¹ è L^∞.
Teorema di Hahn-Banach - versione analitica - parte 1 - il lemma principale.

Lezione 4 - venerdì 3/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Esercizi su operatori lineari continui, norma operatoriale, applicazioni lineari continue tra spazi di Banach e la loro norma.

Lezione 5 - lunedì 6/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Teorema di Hahn-Banach I - estensione di un operatore lineare limitato. Teorema di Hahn-Banach II - ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Banach è contenuto nell'insieme degli zeri di un operatore lineare continuo non banale. Il duale di L^∞ non è L¹. Spazio duale, norma operatoriale, completezza dello spazio duale.

Lezione 6 - martedì 7/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Spazio biduale. Immersione isometrica di uno spazio di Banach nel suo biduale. Spazi riflessivi - definizione ed esempi; L^∞ e L¹ non sono riflessivi. Convergenza debole e convergenza debole-star. Unicità del limite debole. Un criterio per la convergenza debole di una successione limitata. Convergenza debole in L^p - traslazioni, funzioni oscillanti.

Lezione 7 - lunedì 13/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Converegenza debole in L^p ed in spazi di Hilbert. Semicontinuità della norma. Convergenza debole e convergenza delle norme implica la convergenza forte. Le successioni debolmente convergenti sono limitate. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus.

Lezione 8 - martedì 14/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Topologia debole e topologia debole-star su spazi di Banach generali: costruzione e sistema fondamentale di intorni. Topogia debole(-star) e convergenza debole(-star). Semicontinuità delle norme. Limitatezza delle successioni debolmente convergenti. La topologia debole e la topologia forte su uno spazio di dimensione finita sono equivalenti. La chiusura debole della sfera unitaria è la palla unitaria. La topologia debole e la topologia forte su uno spazio di dimensione infinita NON sono equivalenti. Uno spazio di Banach di dimensione infinita non può essere generato da una famiglia numerabile di vettori. La topologia debole in uno spazio di Bananch di dimensione infinita non è metrizzabile.

Lezione 9 - venerdì 17/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Nella palla unitaria di uno spazio di Banach con duale separabile, la topologia debole è metrizzabile. Topologia debole star: proprietà, semicontinuità delle norme e limitatezza delle successioni debolmente convergenti. Teorema di Tychonoff. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Teorema di Kakutani - enunciato.

Lezione 10 - lunedì 20/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Se il duale di uno spazio di Banach è separabile, allora anche lo spazio stesso è separabile. Se il duale B' di uno spazio di Banach è separabile, allora la palla unitaria in B' è compatta per successioni nella topologia debole-star. Sottoinsiemi estemali della palla unitaria nel duale. Lo spazio L¹ non è il duale di uno spazio di Banach. Esercizi ed esempi sulla convergenza debole in L^p.

Lezione 11 - martedì 21/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Funzioni di Sobolev in dimensione uno. Definizione di derivata debole. Unicità della derivata debole. Esempi di funzioni di Sobolev. Lo spazio di Sobolev W^1,p - norma e completezza di W^1,p. Caratterizzazione del duale di W^1,p per p=1 e per p tra 1 e infinito.

Lezione 12 - venerdì 24/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Convergenza debole in W^1,p per p tra 1 e infinito. Le successioni limitate in W^1,p ammettono sottosuccessioni convergenti. Semicontinuità della norma. Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni di Sobolev. Continuità delle funzioni di Sobolev. Una caratterizzazione delle funzioni di Sobolev W^1,p come elementi dello spazio delle distribuzioni.

Lezione 13 - lunedì 27/10/2025, dalle 14:00 alle 16:00.
Traslazioni e lo spazio di Sobolev W^1,p. Teoremi di estensione in W^1,p.

Lezione 14 - martedì 28/10/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Teoremi di approssimazione in W^1,p. Lo spazio W^1,2(R) e la trasformata di Fourier. Limitatezza delle funzioni in W^1,2(I) - nel caso I intervallo illimitato e I intervallo limitato.