Lezione 1 - lunedì 25/09, 11:30-13:30. Introduzione al corso (programma, sito, esami).
Lo spazio Euclideo d-dimensionale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare.
Successioni di vettori: convergenza, teorema di Bolzano-Weierstrass, convergenza della norma e del prodotto scalare, convergenza componente per componente.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1.
Lezione 2 - venerdì 30/09, 8:30-11:30. Successioni di Cauchy e completezza.
Insiemi aperti - definizione, unione e intersezione di insiemi aperti, esempi.
Insiemi chiusi - definizione, insiemi chiusi ed insiemi chiusi per successioni.
Unione e intersezione di insiemi chiusi, esempi. Un esercizio dell'appello di settembre.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1 e Parte 2.
Lezione 3 - lunedì 02/10, 11:30-13:30. Parte interna, chiusira e frontiera di un insieme. Definizioni, esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 1, Parte 3.
Lezione 4 - venerdì 06/10, 8:30-11:30. Insiemi compatti:
un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso e limitato.
Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto ammette un massimo ed un minimo.
Funzioni derivabili: derivate parziali e gradiente di una funzione di più variabili.
Esempio di una funzione derivabile è illimitata definita su un compatto.
Limiti di funzioni e Limiti direzionali. Esempio di una funzione che ha lo stesso
limite in tutte le direzioni, ma non ammette limite nell'origine.
Dispense: Capitolo 1, parti 4,4.1,6. Capitolo 2, parti 1, 2.
Lezione 5 - lunedì 09/10, 11:30-13:30. Altro esempio di una funzione che ha lo stesso
limite in tutte le direzioni, ma non ammette limite nell'origine.
Come non calcoloare il limite di una funzione di due variabili: i limiti in x e in y non sono interscambiabili.
Come calcolare i limiti di funzioni di più variabili: condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite.
Definizione e calcolo di limsup e liminf.
Esercizio sul calcolo del limite in zero di una funzione di due variabili.
Dispense: Capitolo 2, parti 1,2,3,4.
Lezione 6 - venerdì 13/10, 8:30-11:30.
Esercizi sul calcolo di limiti, di limsup e di liminf.
L'algebra degli o-piccoli in una e più variabili - definizioni ed esempi.
Dispense: Capitolo 2, parti 4,5,6.
Lezione 7 - lunedì 16/10, 11:30-13:30.
Sviluppi di Taylor al primo ed al secondo ordine. Unicità dello sviluppo di Taylor.
Esercizi ed esempi di sviluppi di Taylor.
Dispense: Capitolo 2, parti 6,7.
Lezione 8 - venerdì 20/10, 8:30-11:30.
Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
Sviluppi di Taylor - esercizi sul calcolo di limsup e liminf di funzioni di due variabili.
Funzioni differenziabili - definizione.
Le funzioni differenziabili sono derivabili. Gradiente di una funzione differenziabile.
Le funzioni differenziabili sono continue. Un esercizio sulle funzioni differenziabili.
Dispense: Capitolo 3, parte 1.
Lezione 9 - lunedì 23/10, 11:30-13:30.
Esercizi sulle funzioni differenziabili.
Dispense: Prove scritte del 27/6/2023 e del 10/1/2023.
Lezione 10 - venerdì 27/10, 8:30-11:30.
Teorema del differenziale totale.
Derivabilità della composizione di una funzione differenziabile e una curva derivabile.
Derivate direzionali.
Esempio di una funzione derivabile in tutte le direzioni ma non differenziabile.
Esercizio sul calcolo della derivata di una funzione composta.
Dispense: Capitolo 3, parti 2, 2.1, 4.
Lezione 11 - lunedì 30/10, 11:30-13:30.
Teorema di Schwarz, matrice hessiana, sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Dispense:Capitolo 3, parti 5, 6.
Lezione 12 - venerdì 3/11, 8:30-11:30.
Matrici simmetriche - autovalori e autovettori, polinomio caratteristico, teorema spettrale.
Matrici simmetriche definite positive, definite negative, semi-definite positive, semi-definite negative, indefinite.
Criteri per determinare il carattere di una matrice in dimensione N ed in dimensione due.
Calcolo delle matrici hessiane con lo sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Esercizi sulle matrici hessiane (dalle prove scritte degli anni passati).
Massimi e minimi relativi - definizioni. In un punto di minimo relativo la matrice hessiana è definita positiva.
In un punto di massimo relativo la matrice hessiana è definita negativa.
Dispense: Capitolo 3, parte 7, parte 7.1, prove scritte del 27/6/2023 e del 10/1/2023.
Lezione 13 - lunedì 6/11, 11:30-13:30.
Punti critici - punti di massimo relativo, punti di minimo relativo e punti di sella.
Come usare della matrice hessiana per determinare il carattere di un punto critico.
Se la matrice hessiana è indefinita, allora il punto critico è un punto di sella.
Se la matrice hessiana è definita positiva,
allora il punto critico è un punto di minimo relativo.
Se la matrice hessiana è definita negativa,
allora il punto critico è un punto di massimo relativo.
Esempi nel caso di matrice hessiana semi-definita positiva/negativa.
Dispense: Capitolo 3, parte 7.
Lezione 14 - venerdì 10/11, 8:30-11:30.
Esercizi sui punti critici.
Esempio di analisi di una funzione in un punto critico dove la matrice hessiana è semi-definita.
Teorema di Dini - teorema della funzione implicita in dimensione due.
Dispense: Prove scritte del 10/1/2023 e del 13/9/2022.
Capitolo 3, parte 10.
Lezione 15 - lunedì 13/11, 11:30-13:30.
Teorema della funzione implicita in dimensione tre - esempi.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - enunciato.
Colcolo del massimo e del minimo di una funzione sulla sfera - esercizio.
Dispense: Capitolo 3, parte 10. Prova scritta del 28/6/2022.
Lezione 16 - lunedì 20/11, 11:30-13:30.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - dimostrazione.
Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange.
Dispense: Capitolo 3, parte 10. Prova scritta del 10/1/2023 - versione 2.
Lezione 17 - venerdì 24/11, 8:30-11:30.
Applicazioni multilineari alternanti.
Forme differenziali.
Forme esatte e forme chiuse, campi conservativi e campi irrotazionali.
Dispense: Capitolo 5, parti 1, 2.
Lezione 18 - lunedì 27/11, 11:30-13:30.
Forme esatte e forme chiuse, campi irrotazionali e campi rotore.
Integrazione di 1-forme e di campi vettoriali su curve parametriche.
Le forme esatte sono chiuse.
L'integrale di 1-forme esatte su curve chiuse.
Esempio di una 1-forma chiusa, ma non esatta.
Dispense: Capitolo 5, parte 3, 5, 9.
Lezione 19 - venerdì 1/12, 8:30-11:30.
Derivazione sotto l segno di integrale. Teorema di Cantor.
Le 1-forme chiuse su rettangoli sono esatte.
Le 1-forme chiuse su aperti stellati sono esatte.
Integrazione di funzioni di due e più variabili - costruzione dell'integrale di Riemann.
Dispense: Capitolo 5, parti 6, 7, 8. Capitolo 6, parte 1.
Lezione 20 - lunedì 4/12, 11:30-13:30.
Le funzioni continue su un rettangolo sono integrabili secondo Riemann.
Esempio di una funzione non integrabile.
Insiemi misurabili secondo Riemann.
Insiemi di misura nulla.
Gli insiemi con frontiera di mlisura nulla sono misurabili secondo Riemann.
Dispense: Capitolo 6, parti 1, 3.
Lezione 21 - mercoledì 6/12, 17:00-20:00.
La frontiera di un insieme misurabile ha misura nulla.
Domini normali - definizione; i domini normali sono misurabili.
Definizione di integrale di una funzione su un insieme limitato.
Una funzione continua e limitata su un insieme misurabile e integrabile.
Formula di Fubini.
Esempi di calcolo di integrali di funzioni di due variabili su domini normali.
L'area di un disco di raggio R in dimensione due.
Dispense: Capitolo 6, parti 3.1, 2, 4, 5, 5.1, 5.2.
Lezione 22 - lunedì 11/12, 11:30-13:30.
Domini regolari e domini normali. Definizioni ed esempi.
Vettore normale uscente. Vettore normale alla palla.
Curve che parametrizzano il bordo di un dominio regolare in senso antiorario.
Coppie di vettori orientate positivamente e negativamente.
Formula di Stokes - enunciato.
Dispense: Capitolo 6, parti 1, 3.
Lezione 23 - mercoledì 13/12, 17:00-20:00.
Formula di Stokes e formule di Gauss-Green - dimostrazione su domini normali.
Esercizi sulla formula di Stokes.
Calcolo dell'area di un settore circolare con la formula di Stokes.
Dispense: Capitolo 6, parti 7, 8.
Lezione 24 - venerdì 15/12, 8:30-11:30.
Teorema della divergenza - con dimostrazione su domini normali bidimensionali.
Esercizi sul teorema della divergenza.
Formula generale per il cambio delle variabili.
Integrazione in coordinate polari.
Calcolo del volume di una palla in dimensione tre.
Dispense: Capitolo 6, parti 9, 10, 11, 12.