Analisi Matematica II

2023-2024

Università di Pisa

Corso di Laurea - Ingegneria dell'Energia



Analisi Matematica II è il primo modulo del corso annuale

717AA - Analisi Matematica II e Calcolo Numerico.

Il modulo Analisi Matematica II ha una durata di 60 ore e si terrà nel primo semestre.

Prima lezione: lunedì 25 settembre 2023, ore 11:30, aula F1.

Ricevimento: lunedì, 14:30-15:30.

Voto


Il voto finale di Analisi Matematica II e Calcolo Numerico sarà ottenuto come media dei voti dei due moduli Analisi Matematica II e Calcolo Numerico. Solo la media finale potrà essere registrata sul libretto elettronico. Visto che i voti di ogni modulo non vengono registrati, ma vengono conservati in database gestiti in maniera indipendente dai singoli docenti, non possiamo garantire una conservazione di lunga durata. Al momento non è prevista una scadenza netta, ma è fortemente consigliato di sostenere gli esami relativi a entrambi i moduli nel corso dello stesso anno accademico. Per esempio, gli studenti che hanno sostenuto l'esame di Analisi II tra dicembre 2020 e settembre 2021 sono consigliati di sostenere l'esame di Calcolo Numerico tra giugno 2021 e maggio 2022.

Esame


L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso. Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato. In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto.

Orario


Orario delle lezioni:  lunedì 11:30-13:30 (aula F1), venerdì 08:30-11:30 (aula F1).


Programma


Capitolo 1. Elementi di topologia.

Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Distanza euclidea e disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi compatti e compatti per successioni. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.


Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.

Funzioni derivabili e derivate parziali. Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi. Differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwarz. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti critici. Massimi e minimi relativi e assoluti. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Matrici definite positive e matrici definite negative. Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa. Massimi e minimi relativi sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema della funzione inversa.


Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.

Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme. Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione. Prodotto esterno. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiuse che non è esatta. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti. Concatenamento e curve opposte. Integrale di 1-forme su curve. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati. Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.


Capitolo 4. Integrazione.

Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato. Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Lo spazio euclideo


Capitolo 1. Parte 2. Aperti e chiusi


Capitolo 1. Parte 3. Parte interna, chiusura e bordo


Capitolo 1. Parte 4. Insiemi compatti


          Capitolo 1. Parte 4.0. Estremo superiore


          Capitolo 1. Parte 4.1. Teorema di Weierstrass


Capitolo 1. Parte 5. Insiemi connessi per archi


Capitolo 1. Parte 6. Derivate parziali


Capitolo 1. Parte 7. Esercizi di topologia


Capitolo 2. Parte 1. Limiti di funzioni


Capitolo 2. Parte 2. Limiti direzionali


Capitolo 2. Parte 3. Calcolo di limiti in coordinate polari


Capitolo 2. Parte 4. Limsup e liminf


Capitolo 2. Parte 5. Esercizi su limsup e liminf


Capitolo 2. Parte 6. o-piccolo e O-grande


Capitolo 2. Parte 7. Sviluppi di Taylor al primo e secondo ordine


Capitolo 3. Parte 1. Funzioni differenziabili. Definizione, esempi e prime proprietà


            Capitolo 3. Parte 1.1. Sulle nozioni di o-piccolo e della differenziabilità


Capitolo 3. Parte 2. Teorema del differenziale totale


            Capitolo 3. Parte 2.1. Gli spazi C0, C1 e C2


Capitolo 3. Parte 3. Esempi


Capitolo 3. Parte 4. Derivabilità lungo cammini e derivate direzionali


Capitolo 3. Parte 5. Teorema di Schwarz


Capitolo 3. Parte 6. Teorema di Taylor


Capitolo 3. Parte 7. Massimi e minimi relativi e punti di sella


            Capitolo 3. Parte 7.1. Matrici simmetriche


            Capitolo 3. Parte 7.2. Minimi relativi e derivate seconde direzionali


Capitolo 3. Parte 8. Massimi e minimi assoluti


Capitolo 3. Parte 9. Massimi e minimi su insiemi compatti


Capitolo 3. Parte 10. Teorema della funzione implicita e moltiplicatori di Lagrange


Capitolo 5. Parte 1. Forme differenziali


Capitolo 5. Parte 2. Forme chiuse, forme esatte e campi vettoriali


Capitolo 5. Parte 3. Le forme esatte sono chiuse


Capitolo 5. Parte 4. Esercizi sulle forme differenziali


Capitolo 5. Parte 5. Integrazione di 1-forme su curve parametriche


Capitolo 5. Parte 6. Il lemma di derivazione sotto il segno di integrale


Capitolo 5. Parte 7. 1-forme chiuse su rettangoli


Capitolo 5. Parte 8. Le 1-forme chiuse su aperti stellati sono esatte


Capitolo 5. Parte 9. Esempio di una forma chiusa che non sia esatta


            Capitolo 5. Parte 9.1. Un altro esempio di forma chiusa non esatta


            Capitolo 5. Parte 9.2. Forme chiuse nel piano meno l'origine


            Capitolo 5. Parte 9.3. Esercizio sulle forme chiuse


Capitolo 6. Parte 1. Funzioni integrabili secondo Riemann


            Capitolo 6. Parte 1.1. Esercizi


Capitolo 6. Parte 2. Domini normali


Capitolo 6. Parte 3. Insiemi misurabili


            Capitolo 6. Parte 3.1. Parte interna, chiusura e frontiera di un insieme misurabile


Capitolo 6. Parte 4. Integrazione su insiemi misurabili


            Capitolo 6. Parte 4.1. Integrazione su insiemi misurabili - un teorema più generale


Capitolo 6. Parte 5. Formula di Fubini


            Capitolo 6. Parte 5.1. Esercizi


            Capitolo 6. Parte 5.2. L'area di un disco


Capitolo 6. Parte 6. Integrazione di 1-forme sul bordo di un dominio normale


Capitolo 6. Parte 7. Formule di Gauss-Green su domini normali


            Capitolo 6. Parte 7.1. Formule di Gauss-Green sul disco


Capitolo 6. Parte 8. Formula di Stokes su domini normali


Capitolo 6. Parte 9. Integrazione di funzioni su curve


Capitolo 6. Parte 10. Integrazione di funzioni sul bordo di un dominio normale


Capitolo 6. Parte 11. Teorema della divergenza su domini normali


            Capitolo 6. Parte 11.1. Teorema della divergenza su domini regolari


Capitolo 6. Parte 12. Cambiamento di variabili in integrali doppi


Registro
delle lezioni


Lezione 1 - lunedì 25/09, 11:30-13:30. Introduzione al corso (programma, sito, esami). Lo spazio Euclideo d-dimensionale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Successioni di vettori: convergenza, teorema di Bolzano-Weierstrass, convergenza della norma e del prodotto scalare, convergenza componente per componente.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1.


Lezione 2 - venerdì 30/09, 8:30-11:30. Successioni di Cauchy e completezza. Insiemi aperti - definizione, unione e intersezione di insiemi aperti, esempi. Insiemi chiusi - definizione, insiemi chiusi ed insiemi chiusi per successioni. Unione e intersezione di insiemi chiusi, esempi. Un esercizio dell'appello di settembre.
Dispense: Capitolo 1, Parte 1 e Parte 2.


Lezione 3 - lunedì 02/10, 11:30-13:30. Parte interna, chiusira e frontiera di un insieme. Definizioni, esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 1, Parte 3.


Lezione 4 - venerdì 06/10, 8:30-11:30. Insiemi compatti: un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme compatto ammette un massimo ed un minimo. Funzioni derivabili: derivate parziali e gradiente di una funzione di più variabili. Esempio di una funzione derivabile è illimitata definita su un compatto. Limiti di funzioni e Limiti direzionali. Esempio di una funzione che ha lo stesso limite in tutte le direzioni, ma non ammette limite nell'origine.
Dispense: Capitolo 1, parti 4,4.1,6. Capitolo 2, parti 1, 2.


Lezione 5 - lunedì 09/10, 11:30-13:30. Altro esempio di una funzione che ha lo stesso limite in tutte le direzioni, ma non ammette limite nell'origine. Come non calcoloare il limite di una funzione di due variabili: i limiti in x e in y non sono interscambiabili. Come calcolare i limiti di funzioni di più variabili: condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Definizione e calcolo di limsup e liminf. Esercizio sul calcolo del limite in zero di una funzione di due variabili.
Dispense: Capitolo 2, parti 1,2,3,4.


Lezione 6 - venerdì 13/10, 8:30-11:30. Esercizi sul calcolo di limiti, di limsup e di liminf. L'algebra degli o-piccoli in una e più variabili - definizioni ed esempi.
Dispense: Capitolo 2, parti 4,5,6.


Lezione 7 - lunedì 16/10, 11:30-13:30. Sviluppi di Taylor al primo ed al secondo ordine. Unicità dello sviluppo di Taylor. Esercizi ed esempi di sviluppi di Taylor.
Dispense: Capitolo 2, parti 6,7.


Lezione 8 - venerdì 20/10, 8:30-11:30. Esercizi sugli sviluppi di Taylor. Sviluppi di Taylor - esercizi sul calcolo di limsup e liminf di funzioni di due variabili. Funzioni differenziabili - definizione. Le funzioni differenziabili sono derivabili. Gradiente di una funzione differenziabile. Le funzioni differenziabili sono continue. Un esercizio sulle funzioni differenziabili.
Dispense: Capitolo 3, parte 1.


Lezione 9 - lunedì 23/10, 11:30-13:30. Esercizi sulle funzioni differenziabili.
Dispense: Prove scritte del 27/6/2023 e del 10/1/2023.


Lezione 10 - venerdì 27/10, 8:30-11:30. Teorema del differenziale totale. Derivabilità della composizione di una funzione differenziabile e una curva derivabile. Derivate direzionali. Esempio di una funzione derivabile in tutte le direzioni ma non differenziabile. Esercizio sul calcolo della derivata di una funzione composta.
Dispense: Capitolo 3, parti 2, 2.1, 4.


Lezione 11 - lunedì 30/10, 11:30-13:30. Teorema di Schwarz, matrice hessiana, sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Dispense:Capitolo 3, parti 5, 6.


Lezione 12 - venerdì 3/11, 8:30-11:30. Matrici simmetriche - autovalori e autovettori, polinomio caratteristico, teorema spettrale. Matrici simmetriche definite positive, definite negative, semi-definite positive, semi-definite negative, indefinite. Criteri per determinare il carattere di una matrice in dimensione N ed in dimensione due. Calcolo delle matrici hessiane con lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Esercizi sulle matrici hessiane (dalle prove scritte degli anni passati). Massimi e minimi relativi - definizioni. In un punto di minimo relativo la matrice hessiana è definita positiva. In un punto di massimo relativo la matrice hessiana è definita negativa.
Dispense: Capitolo 3, parte 7, parte 7.1, prove scritte del 27/6/2023 e del 10/1/2023.


Lezione 13 - lunedì 6/11, 11:30-13:30. Punti critici - punti di massimo relativo, punti di minimo relativo e punti di sella. Come usare della matrice hessiana per determinare il carattere di un punto critico. Se la matrice hessiana è indefinita, allora il punto critico è un punto di sella. Se la matrice hessiana è definita positiva, allora il punto critico è un punto di minimo relativo. Se la matrice hessiana è definita negativa, allora il punto critico è un punto di massimo relativo. Esempi nel caso di matrice hessiana semi-definita positiva/negativa.
Dispense: Capitolo 3, parte 7.


Lezione 14 - venerdì 10/11, 8:30-11:30. Esercizi sui punti critici. Esempio di analisi di una funzione in un punto critico dove la matrice hessiana è semi-definita. Teorema di Dini - teorema della funzione implicita in dimensione due.
Dispense: Prove scritte del 10/1/2023 e del 13/9/2022. Capitolo 3, parte 10.


Lezione 15 - lunedì 13/11, 11:30-13:30. Teorema della funzione implicita in dimensione tre - esempi. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - enunciato. Colcolo del massimo e del minimo di una funzione sulla sfera - esercizio.
Dispense: Capitolo 3, parte 10. Prova scritta del 28/6/2022.


Lezione 16 - lunedì 20/11, 11:30-13:30. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange - dimostrazione. Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange.
Dispense: Capitolo 3, parte 10. Prova scritta del 10/1/2023 - versione 2.


Lezione 17 - venerdì 24/11, 8:30-11:30. Applicazioni multilineari alternanti. Forme differenziali. Forme esatte e forme chiuse, campi conservativi e campi irrotazionali.
Dispense: Capitolo 5, parti 1, 2.


Lezione 18 - lunedì 27/11, 11:30-13:30. Forme esatte e forme chiuse, campi irrotazionali e campi rotore. Integrazione di 1-forme e di campi vettoriali su curve parametriche. Le forme esatte sono chiuse. L'integrale di 1-forme esatte su curve chiuse. Esempio di una 1-forma chiusa, ma non esatta.
Dispense: Capitolo 5, parte 3, 5, 9.


Lezione 19 - venerdì 1/12, 8:30-11:30. Derivazione sotto l segno di integrale. Teorema di Cantor. Le 1-forme chiuse su rettangoli sono esatte. Le 1-forme chiuse su aperti stellati sono esatte. Integrazione di funzioni di due e più variabili - costruzione dell'integrale di Riemann.
Dispense: Capitolo 5, parti 6, 7, 8. Capitolo 6, parte 1.


Lezione 20 - lunedì 4/12, 11:30-13:30. Le funzioni continue su un rettangolo sono integrabili secondo Riemann. Esempio di una funzione non integrabile. Insiemi misurabili secondo Riemann. Insiemi di misura nulla. Gli insiemi con frontiera di mlisura nulla sono misurabili secondo Riemann.
Dispense: Capitolo 6, parti 1, 3.


Lezione 21 - mercoledì 6/12, 17:00-20:00. La frontiera di un insieme misurabile ha misura nulla. Domini normali - definizione; i domini normali sono misurabili. Definizione di integrale di una funzione su un insieme limitato. Una funzione continua e limitata su un insieme misurabile e integrabile. Formula di Fubini. Esempi di calcolo di integrali di funzioni di due variabili su domini normali. L'area di un disco di raggio R in dimensione due.
Dispense: Capitolo 6, parti 3.1, 2, 4, 5, 5.1, 5.2.


Lezione 22 - lunedì 11/12, 11:30-13:30. Domini regolari e domini normali. Definizioni ed esempi. Vettore normale uscente. Vettore normale alla palla. Curve che parametrizzano il bordo di un dominio regolare in senso antiorario. Coppie di vettori orientate positivamente e negativamente. Formula di Stokes - enunciato.
Dispense: Capitolo 6, parti 1, 3.


Lezione 23 - mercoledì 13/12, 17:00-20:00. Formula di Stokes e formule di Gauss-Green - dimostrazione su domini normali. Esercizi sulla formula di Stokes. Calcolo dell'area di un settore circolare con la formula di Stokes.
Dispense: Capitolo 6, parti 7, 8.


Lezione 24 - venerdì 15/12, 8:30-11:30. Teorema della divergenza - con dimostrazione su domini normali bidimensionali. Esercizi sul teorema della divergenza. Formula generale per il cambio delle variabili. Integrazione in coordinate polari. Calcolo del volume di una palla in dimensione tre.
Dispense: Capitolo 6, parti 9, 10, 11, 12.

Docente: Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it