2.2 Regola della somma

La prima regola del calcolo delle probabilità riguarda la disgiunzione logica tra due affermazioni.

Proprietà 2.2 (regola della somma, o additività) Date affermazioni \(A\), \(B\) e l’informazione nota \(I\), se \(A\) e \(B\) non possono in nessun caso essere entrambe vere (supponendo \(I\) vera), allora vale \[ P( A \text{ oppure } B | I ) = P(A | I )+ P(B|I). \]

Due affermazioni \(A\) e \(B\) come sopra vengono dette incompatibili (o mutuamente esclusive), proprio perché la validità di una esclude l’altra. Equivalentemente, possiamo anche dire che l’affermazione “\(A\) e \(B\)” è trascurabile rispetto all’informazione \(I\), ossia \(P( A,B | I ) = 0\). Con la rappresentazione in diagrammi, notiamo che la condizione di incompatibilità corrisponde al fatto che i diagrammi siano ben separati (il termine insemistico è disgiunti), e la regola della somma corrisponde al fatto che l’area dell’unione dei diagrammi sia la somma delle aree.

Regola della somma tra $A$ e $B$ incompatibili.

Figura 2.3: Regola della somma tra \(A\) e \(B\) incompatibili.

Esempio 2.3 L’esempio più semplice di eventi incompatibili si ottiene ponendo \(B\) come la negazione di \(A\) ossia \(B=\) “non \(A\)”. Siccome “\(A\) oppure \(B\)” è così sicuramente vera (qualsiasi sia l’informazione \(I\), che quindi omettiamo), ne deduciamo che \[ 1 = P( \text{ $A$ oppure non $A$} ) = P(A)+ P(\text{non $A$}),\] ossia \[ P(\text{non $A$}) = 1 - P(A).\]

Nel caso di affermazioni \(A\), \(B\) non incompatibili, si ottiene una formula leggermente più complicata, a volte utile.

Proposizione 2.1 Per \(A\) e \(B\) affermazioni (non necessariamente incompatibili) vale \[ P(\text{$A$ oppure $B$} ) = P(A )+ P(B) - P(\text{$A$ e $B$} ), \tag{2.1} \] dove per brevità omettiamo di specificare l’informazione nota \(I\).

Regola della somma tra $A$ e $B$ generali: l'area dell'intersezione va sottratta altrimenti è contata due volte.

Figura 2.4: Regola della somma tra \(A\) e \(B\) generali: l’area dell’intersezione va sottratta altrimenti è contata due volte.

Proof. Infatti, l’affermazione “\(A\) oppure \(B\)” si può equivalentemente pensare come “\(A\) oppure (\(B\) e non \(A\))”, nel senso che una è vera se e solo se l’altra è vera: perciò il grado di fiducia attribuito deve essere lo stesso (altrimenti il robot non sarebbe davvero razionale). Ma nella riformulazione, le due affermazioni \(A\) e “\(B\) e non \(A\)” sono incompatibili. Ne segue che \[ P(\text{$A$ oppure $B$} ) = P(A) + P(\text{$B$ e non $A$}).\] Analogamente, scambiando i ruoli di \(A\) e \(B\) segue che \[ P(B) = P(\text{$B$ e $A$}) + P(\text{$B$ e non $A$}),\] e sottraendo le due identità otteniamo la (2.1).

2.2.1 Esercizi

Esercizio 2.3 Mostrare la seguente regola della somma generalizzata a tre eventi \(A\), \(B\), \(C\) qualsiasi (non necessariamente incompatibili): \[ P( \text{$A$ oppure $B$ oppure $C$}) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A,B)-P(A,C)-P(B,C) + P(A,B,C).\]

Esercizio 2.4 Dedurre la proprietà di monotonia dalla regola della somma.