Capitolo 4 Indicatori caratteristici
In questo capitolo studiamo le principali quantità che permettono di sintetizzare la legge di una variabile aleatoria (reale o vettoriale), concentrandoci in particolare sugli indicatori di posizione (o centralità) di dispersione (o variabilità) e di correlazione.
Nella Sezione 4.1, introduciamo la funzione di ripartizione (o distribuzione cumulata) e la funzione di sopravvivenza per variabili aleatorie reali.
La Sezione 4.2 è dedicata all’inversa della funzione di ripartizione, la funzione quantile, che permette di definire anche il concetto di mediana di una distribuzione.
Nella Sezione 4.3 definiamo il valor medio, uno degli indicatori di posizione più importanti ed utilizzati, anche per via delle proprietà che ne agevolano il calcolo in molte situazioni.
La Sezione 4.4 presenta l’indice di variabilità più comune, la varianza (e la deviazione standard) con le sue proprietà.
Nella Sezione 4.5 introduciamo la covarianza tra due variabili aleatorie, passando così dal caso reale al caso vettoriale.
La Sezione 4.6 presenta il concetto generale di momento di una variabile per approssimare il calcolo dei valori attesi, e la funzione generatrice dei momenti (collegata alla trasformata di Laplace della densità)
La Sezione 4.7 si occupa invece della trasformata di Fourier della densità, che è detta in questo contesto funzione caratteristica di una variabile aleatoria.
Concludiamo il capitolo accennando nella Sezione 4.8 al concetto di entropia di una densità, che è fondamentale in molti ambiti della teoria dell’informazione, ma può essere utile anche come indicatore di dispersione o per stabilire opportune probabilità a priori (tramite il principio di massima entropia).