3.1 Sistemi di alternative e variabili

Il punto di vista che presentiamo, motivato dalla pratica, è il seguente: una variabile aleatoria è soltanto una notazione per un sistema di alternative, con il vantaggio che possiamo effettuare operazioni come tra le variabili matematiche (classiche).

In molti problemi, è infatti richiesto di calcolare il grado di fiducia che oppurtune grandezze (quantitative, numeriche o anche semplicemente qualitative, come ad esempio colori o sequenze) assumano certi valori. Introdotta quindi una tale grandezza \(X\) su cui vi è incertezza, ma di cui conosciamo i tutti possibili valori \(x \in E\)⁵, un modo di procedere è di introdurre una alternativa \(A_x\) per ciascun valore \(x\) che la grandezza può assumere: l’evento \(A_x\) è quindi a parole “\(X\) assume il valore \(x\)”. Questo non dovrebbe sembrare una novità, perché nel precedente capitolo abbiamo proprio fatto in questo modo per il lancio di un dado, in cui \(E = \cur{1, 2,3,4,5,6}\), oppure il numero di palline rosse in \(n\) estrazioni da un’urna, in cui i possibili valori sono \(\cur{0,1, \ldots, n}\) (abbiamo visto sia il caso senza che con rimpiazzo, legati rispettivamente alla densità ipergeometrica e binomiale). L’osservazione (o ipotesi) chiave è che, anche se vi è incertezza sul valore di \(X\), si sa che nella realtà essa assume uno e un solo valore (se potesse assumere più di un valore allora le \(A_x\) non sarebbero a due a due incompatibili tra loro).

Il passo successivo allora, è di indicare il sistema di alternative \((A_x)_{x \in E}\) associato alla quantità \(X\) in un modo più diretto. Introduciamo quindi la notazione \[ \cur{ X = x} = A_x\] per indicare l’evento in cui la grandezza \(X\) assume il valore specifico \(x\). Questo cambio di notazione induce anche un cambio di punto di vista, in cui la grandezza \(X\) comincia a comportarsi come una variabile matematica: diremo quindi che \(X\) è una variabile aleatoria a valori in \(E\) per indicare un sistema di alternative associato ad \(X\), \(\bra{ \cur{X = x} }_{x \in E}\). Una scrittura compatta è \(X \in E\) oppure, seguendo l’assiomatizzazione di Kolmogorov, \(X: \Omega \to E\) (questa notazione sarà chiarita tra poco).

Il vantaggio di disporre di una variabile \(X\) è che possiamo effettuare determinate operazioni naturali, che corrispondono in pratica ad operazioni, magari meno evidenti, sul sistema di alternative. Ad esempio, dato un sottoinsieme di valori \(U \subseteq E\), possiamo scrivere \[ \cur{ X \in U}, \] per indicare l’affermazione “\(X\) assume un qualsiasi valore tra quelli di \(U\)”. Ad esempio, nel caso del dado, posto \(U = \cur{1,3,5}\), allora \[ \cur{X \in \cur{1,3,5}} = \cur{X =1} \text{oppure} \cur{X=3} \text{oppure} \cur{X =5},\] significa che \(X\) assume un valore dispari.

Remark. Possiamo scrivere \(\cur{X\in U}\) come disgiunzione tra gli eventi \(\cur{X = x}\) al variare di \(x \in U\), ossia usando la notazione insiemistica \[ \cur{X \in U} = \bigcup_{x \in U} \cur{ X = x}.\] Nel caso in cui \(E\) sia finito, non vi sono particolari dubbi nel fatto che \(\cur{X \in U}\) sia un evento, ma se \(U\) fosse infinito allora bisognerebbe essere più cauti e considerare un opportuno limite (usando appunto la teoria di Kolmogorov). Noi non ci occuperemo di questi problemi e supporremo sempre che \(\cur{ X \in U}\) sia un evento (tutti i possibili controesempi sono costruzioni puramente matematiche che sfruttano proprietà dell’infinito).

Altri esempi riguardano l’uso di simboli di diseguaglianza (nel caso di variabili a valori numerici), per cui scriveremo \[ \cur{ X \le x} = \cur{ X \in (-\infty, x]}, \quad \cur{ X > x } = \cur{ X \in (x, \infty)}.\] Il vantaggio della notazione comincia ad essere evidente quando si nega l’affermazione \(\cur{ X \in U}\), ottenendo naturalmente \[ \text{non} \cur{X \in U} = \cur{ X \notin U }, \quad \text{oppure} \quad \text{non} \cur{ X < x } = \cur{ X \ge x},\] e così via. Pure per la congiunzione si trova \[ \cur{X \in U} \text{ e } \cur{X \in V} = \cur{ X \in U \text{ e } X \in V)} = \cur{ X \in (U \cap V)},\] e similmente per la disgiunzione \[ \cur{X \in U} \cap \cur{X \in V} = \cur{ X \in U \text{ oppure } X \in V} = \cur{ X \in (U \cup V)}.\]

Remark. Nella teoria di Kolmogorov le variabili aleatorie \(X\), a valori in un insieme \(E\), sono definite come funzioni \(X: \Omega \to E\), che associano a ciascun \(\omega \in \Omega\) un valore \(X(\omega) \in E\) (avendo determinato uno spazio di probabilità \((\Omega, \mathcal{A}, P)\)). L’evento \(\cur{X=x}\) corrisponde all’immagine inversa di \(x\) tramite \(X\), ossia all’insieme \[ \cur{X= x} = \cur{ \omega \in \Omega \, : \, X(\omega) =x}.\] Si richiede in particolare che ciascun sottoinsieme \(\cur{X= x}\) sia un evento, ossia appartenga alla famiglia \(\mathcal{A}\). In realtà la teoria è un po’ più complicata di così, per trattare il caso di \(E\) infiniti, ma noi non ci soffermiamo su questo aspetto.

3.1.1 Esercizi

Esercizio 3.1 Si consideri una variabile aleatoria \(X\) a valori in \(E = \R\). Risolvendo il sistema di disequazioni, scrivere l’evento \[ \cur{ 3 X + 5 < 2, \, X^2 > 16 } \] in una forma più semplice.