4.9 Problemi

Esercizio 4.22 Usando la serie geometrica \(\sum_{k=0}^\infty x^k = 1/(1-x)\), per \(|x|<1\), calcolare la \(\MGF_X\) e \(\SUR_X\) di una variabile \(X\) avente densità geometrica di parametro \(p \in [0,1]\), ossia \[ P(X=k) = p (1-p)^k.\]

Calcolare anche valor medio, varianza di \(X\) ed entropia di \(X\).

Esercizio 4.23 La durata di un dispositivo di rilevamento antincendio, prima che si deteriori, è modellizzata tramite una variabile aleatoria \(T\) avente densità discreta geometrica di parametro \(1/2\). Tuttavia, per aumentare la sicurezza, l’azienda che li installa ha deciso dopo un tempo \(T_0\) dall’installazione di un dispositivo, esso venga in ogni caso sostituito con uno nuovo. La durata complessiva è quindi \(X = \min\cur{T, T_0}\).

• Supponendo di sapere che \(T_0=3\), descrivere \(\SUR_{X}\) e tracciarne un grafico (sia a mano che con opportuni comandi R). Calcolare il valor medio e la deviazione standard di \(X\).
• Un’azienda concorrente non conosce esattamente il valore \(T_0\) e suppone che sia una variabile anch’essa geometrica, di parametro \(1/4\), indipendente da \(T\). Come sono \(\SUR_X\), \(\E{X}\) e \(\sigma_X\) usando invece questa informazione?

Esercizio 4.24 Si vuole stimare il volume della produzione di una startup che produce mani robotiche. Si sa che ogni dispositivo ha un numero di produzione (in ordine crescente, partendo da \(1\)). Si sa inoltre che la compagnia non può aver prodotto più di \(100\) dispositivi (avendo osservato le dimensioni della fabbrica e trasporto in entrata/uscita da essa). Si suppone quindi a priori che \(N \in \cur{1, 2, \ldots, 1000}\) sia uniforme.

• Calcolare \(\E{N}\) e \(\sigma_N\) rispetto all’informazione a priori.
• Ad una esposizione si osserva che il modello ha numero di produzione \(15\). Supponendo che sia un modello preso a caso (uniformemente) tra quelli prodotti, determinare la densità a posteriori di \(N\) e descrivere come cambiano il valor medio e la deviazione standard.

Esercizio 4.25 Si sospetta che un venditore online di ricambi spedisca merce contraffatta ai propri clienti. Un ricambio originale ha una durata modellizzata tramite una variabile esponenziale di parametro \(\lambda = 1/10\) (in una opportuna unità di misura), mentre uno contraffatto ha parametro \(\lambda=1\). Se il venditore è disonesto, vende solamente merce contraffatta (e le durate di ricambi diversi sono indipendenti), mentre se è onesto vende solo merce originale. Si suppone a priori che il venditore sia disonesto con probabilità \(1\%\), e onesto con probabilità \(99\%\).

• Determinare il valor medio e la deviazione standard della durata di un ricambio acquistato presso il venditore (rispetto all’informazione a priori descritta sopra).
• Avendo acquistato un dispositivo, si osserva che solamente dopo un tempo \(3\) ha smesso di funzionare. Come cambia la probabilità che il venditore sia onesto? Come cambiano valor medio e deviazione standard della durata di un (qualsiasi altro) ricambio lì acquistato?