Complementi di Analisi Matematica

2021-2022

Università di Pisa

Corso di Laurea Triennale in Fisica



Complementi di Analisi Matematica è un corso da 6 CFU (48 ore) del primo semestre del secondo anno del corso di Laurea Triennale in Fisica.

Prima lezione: lunedì 20 settembre 2021, ore 10:30.

Esame


L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Può accedere all'orale solo chi ha superato la prova scritta dell'appello in corso. Il voto dello scritto è valido solo per l'appello in corso e non può essere conservato. In genere, l'esame orale si tiene la settimana dopo lo scritto.


Le date (per il momento provvisorie) degli scritti della sessione invernale sono:
18 dicembre 2021, ore 9-13, aula A; 18 gennaio 2022, ore 9-13, aula A.

Orario


Orario delle lezioni:  lunedì 10:30-12:30 (aula Fib A), martedì 12:30-15:30 (aula Fib A).


Gruppo Teams - 637AA 21/22 - COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA [FIS-L]


Ricevimento:  mercoledì 17:30-19:30 - in presenza (aula V1) e sul gruppo teams del corso.

Programma


Capitolo 1. Elementi di topologia.

Lo spazio euclideo. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza euclidea. Disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni e successioni di Cauchy. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi compatti e compatti per successioni. Funzioni continue. Composizione di funzioni continue. Funzioni continue su insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.


Capitolo 2. Calcolo differenziale e studio di funzioni di più variabili.

Funzioni derivabili e derivate parziali. Funzioni differenziabili. Esempi e controesempi. Differenziabilità, derivabilità e continuità. Teorema del differenziale. Derivate parziali di ordine superiore - teorema di Schwartz. Composizione di funzioni differenziabili. Formula per le derivate parziali della funzione composta. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti critici. Massimi e minimi relativi e assoluti. Condizioni necessarie e sufficienti. Punti critici. Matrici semidefinite positive e matrici semidefinite negative. Matrici definite positive e matrici definite negative. Metodi per determinare se una matrice è definita (o semidefinita) positiva/negativa. Massimi e minimi locali sul bordo di un insieme regolare. Condizioni necessarie e sufficienti al primo e al secondo ordine. Vettore normale e vettore tangente al bordo di un insieme regolare. Teorema di Dini (detto anche della funzione implicita). Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema della funzione inversa.


Capitolo 3. Forme differenziali ed integrali curvilinei.

Forme differenziali: 1-forme, 2-forme e k-forme. Operazioni con le forme differenziali: somma e prodotto con una funzione. Prodotto esterno. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Le forme esatte sono chiuse. Esempio di una forma chiusa non esatta. Integrazione di 1-forme su curve. Curve chiuse, semplici, regolari a tratti. Concatenamento e curve opposte. Integrale di 1-forme su curve. Integrazione di forme esatte su curve chiuse. Teorema della derivazione sotto il segno dell'integrale. Lemma di Poincaré sui rettangoli. Forme chiuse e forme esatte in aperti stellati. Domini diffeomorfi e forme differenziali. Insiemi semplicemente connessi. Integrazione di funzioni su curve. Integrale di una funzione continua su una curva. Integrazione su curve equivalenti, opposte e concatenate. Lunghezza di una curva.


Capitolo 4. Integrazione.

Integrale di Riemann su un dominio rettangolare. Partizioni e somme di Riemann superiore e inferiore. Integrale di Riemann superiore e inferiore. Integrabilità delle funzioni continue su domini rettangolari. Teorema di Fubini su domini rettangolari. Definizione di integrale su un insieme limitato. Domini normali. Integrabilità di una funzione continua su un dominio normale. Teorema di Fubini in domini normali. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Orientazione in dimensione due. Curve che parametrizzano il bordo di un insieme in senso antiorario. Formula di Stokes. Cambio delle variabili in dimensione due. Integrazione in coordinate polari nel piano. Integrazione su superfici parametriche. Formula di Stokes per le superfici. Prodotto vettoriale in dimensione tre. Divergenza e rotore di un campo in dimensione tre. Integrazione di funzioni su superfici. Teorema del rotore.

Dispense


Capitolo 1. Parte 1. Lo spazio euclideo


Capitolo 1. Parte 2. Aperti e chiusi


Capitolo 1. Parte 3. Insiemi numerabili


Capitolo 1. Parte 4. Insiemi compatti


Capitolo 1. Parte 5. Insiemi connessi per archi (versione aggiornata 28.9.21)


Capitolo 1. Parte 6. Funzioni con gradiente nullo su aperti connessi per archi


Capitolo 1. Parte 7. Correzione esercizio Parte 2: Il sottografico di una funzione continua è un aperto


Capitolo 1. Parte 8. Una definizione equivalente di funzione continua


Capitolo 2. Parte 1. Limiti di funzioni


Capitolo 2. Parte 2. Convergenza uniforme e interpretazione geometrica della differenziabilità


Capitolo 2. Parte 3. Funzioni differenziabili. Definizione, esempi e prime proprietà


Capitolo 2. Parte 4. Teorema del differenziale totale e differenziabilità lungo cammini


Capitolo 2. Parte 5. Polinomi di più variabili


Capitolo 2. Parte 6. Derivate parziali seconde


Capitolo 2. Parte 7. Teorema di Taylor generale


Capitolo 2. Parte 8. o-piccolo e O-grande. Esercizi sugli sviluppi di Taylor di funzioni di più variabili


Capitolo 2. Parte 9. Limsup e liminf all'infinito


Capitolo 2. Parte 10. Massimi e minimi globali


Capitolo 2. Parte 11. Massimi e minimi vincolati


Capitolo 2. Parte 12. Teorema di Dini e moltiplicatori di Lagrange.


Capitolo 2. Parte 13. Funzioni differenziabili a valori vettoriali.


Capitolo 2. Parte 14. Diffeomorfismi.


Capitolo 2. Parte 15. Teorema della funzione inversa.


Capitolo 3. Parte 1. Applicazioni multilineari alternanti e forme differenziali


Capitolo 3. Parte 2. Forme chiuse e forme esatte


Capitolo 3. Parte 3. Le forme esatte sono chiuse


Capitolo 3. Parte 4. Esercizi sulle forme differenziali


Capitolo 3. Parte 5. Curve


Capitolo 3. Parte 6. Integrazione di 1-forme su curve


Capitolo 3. Parte 7. Derivazione sotto il segno di integrale


Capitolo 3. Parte 8. Forme chiuse su rettangoli (non fatto a lezione)


Capitolo 3. Parte 9. Forme chiuse in aperti stellati


Capitolo 3. Parte 10. Esempio di una forma chiusa, ma non esatta

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - lunedì 20/09. Introduzione al corso. Programma del corso. Spazio euclideo di dimensione N. Distanza euclidea. La nozione di distanza. Prodotto scalare e le sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare. Convergenza di successioni in Rn. Prodotto scalare e modulo di successioni convergenti. Una successione di vettori converge se e solo se convergono le successioni delle componenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rn.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.


Lezione 2 - martedì 21/09. Successioni di Cauchy. Definizione di spazio metrico completo. Lo spazio euclideo Rn munito con la distanza euclidea è uno spazio metrico completo. Insiemi aperti. Definizione. Unione e intersezione di insiemi aperti. Il prodotto (cartesiano) di aperti è un aperto. Esempi di insiemi aperti. Insiemi chiusi: definizione. Unione e intersezione di insiemi chiusi. Insiemi chiusi e insiemi chiusi per successioni. Esempi. Definizione della parte interna, della chiusura e della frontiera (detta anche bordo) di un insieme. Teorema: La chiusura di un insieme A coincide con l'insieme dei punti di aderenza di A.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1 e Parte 2.


Lezione 3 - lunedì 27/09. Caratterizzazione della parte interna e della frontiera di un insieme. Esempi di parte interna, chiusura e bordo. Parte interna, chiusura e bordo dell'insieme di vettori con coordinate razionali. Insiemi numerabili: definizione ed esempi. L'insieme dei vettori con coordinate razionali è numerabile. Insiemi compatti per successioni. Teorema: Un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso e limitato. Definizione di ricoprimento aperto di un insieme. Definizione di insieme compatto. Teorema: Se un insieme è compatto, allora è chiuso e limitato.
Dispense: Capitolo 1: Parte 2, Parte 3 e Parte 4.


Lezione 4 - martedì 28/09. Teorema: Se un insieme è compatto per successioni, allora è compatto (per ricoprimenti). Teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Insiemi connessi per archi. L'unione di due insiemi connessi per archi, con intersezione non vuota, è un insieme connesso per archi. L'intersezione di due insiemi connessi potrebbe non essere connessa per archi. Teorema degli zeri (teorema del valore intermedio). Teorema: Un aperto è connesso per archi se e solo se non può essere diviso in due insiemi aperti disgiunti.
Dispense: Capitolo 1. Parte 4 e Parte 5.


Lezione 5 - lunedì 04/10. Correzione esercizio Parte 2. Il sottografico di una funzione continua è un aperto. Teorema: Una funzione è continua se e solo se la preimmagine di ogni aperto è aperta. Una soluzione alternativa dell'esercizio precedente. Funzioni derivabili, derivate parziali e gradiente - definizione. Teorema: Le funzioni derivabili con gradiente nullo su un aperto connesso per archi sono costanti. Esempio di una funzione derivabile in ogni punto con una discontinuità in zero. Definizione di limite di una funzione in un punto. Esempio di calcolo di limite in zero in coordinate cartesiane.
Dispense: Capitolo 1. Parte 6, Parte 7 e Parte 8. Capitolo 2. Parte 1.


Lezione 6 - martedì 05/10. Limiti direzionali. Condizione necessaria per l'esistenza di limite in un punto. Esempio di una funzione che ha lo stesso limite direzionale in ogni direzione, ma non ammette un limite. Una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di limite. Calcolo di limiti in dimensione due con le coordinate polari. Esercizi ed esempi. Definizione di limsup e liminf. Limsup e liminf coincidono se e solo se esiste il limite. Metodo di calcolo di limsup e liminf di una funzione in un punto. Esercizi in dimensione due: calcolo di limsup e di liminf in coordinate polari.
Dispense: Capitolo 2. Parte 1.


Lezione 7 - lunedì 11/10. Calcolo di limsup e liminf: esercizi ed esempi. O(r) e o(r) per funzioni di due variabili.
Dispense: Capitolo 2. Parte 1.


Lezione 8 - martedì 12/10. Convergenza uniforme e convergenza puntuale. Definizioni ed esempi. La convergenza uniforma implica quella puntuale. Esempio di una successione di funzioni che converge puntualmente, ma non uniformemente. Convergenza uniforme e riscalamenti: interpretazione geometrica della continuità; interpretazione geometrica della differenziabilità. Funzioni differenziabili: definizione. Una funzione differenziabile è anche derivabile. Le funzioni differenziabili sono continue. Esempio di una funzione derivabile, ma non differenziabile. Teorema del differenziale.
Dispense: Capitolo 2. Parte 2, Parte 3 e Parte 4.


Lezione 9 - martedì 19/10. Teorema del differenziale - dimostrazione in dimensione due. Esercizio: esempio di una funzione derivabile e continua, ma non differenzibile in zero. Teorema: Derivabilità lungo curve regolari di una funzione differenziabile. Derivate direzionali; le funzioni differenziabili ammettono derivate direzionali in ogni direzione. Esercizio: esempio di una funzione continua che ammette una derivata direzionale in ogni direzione, ma non è differenziabile.
Dispense: Capitolo 2. Parte 3 e Parte 4.


Lezione 10 - lunedì 25/10. Derivate parziali seconde. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema di Taylor al secondo ordine.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6.


Lezione 11 - martedì 26/10. Sviluppi di Taylor di ordine superiore: teorema di Taylor. Unicità dello sviluppo di Taylor. Polinomi di una e due variabili. Principio d'identità dei polinomi. Polinomi omogenei di due variabili. I polinomi di due variabili sono esprimibili in maniera unica come somma (finita) di polinomi omogenei. Massimi e minimi relativi, punti critici e punti di sella: definizioni ed esempi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 5, Parte 6 e Parte 7.


Lezione 12 - martedì 2/11. Punti di massimo e di minimo relativo: condizioni necessarie e sufficienti. Punti di sella: condizione sufficiente. Matrici hessiane di funzioni di due variabili. Matrici definite positive/negative, semi-definite positive/negative, indefinite. Esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7.


Lezione 13 - lunedì 8/11. Punti di massimo e di minimo globali; limsup e liminf all'inifinito. Massimi e minimi di funzioni definite su insiemi compatti. Esercizi ed esempi.
Dispense: Capitolo 2. Parte 9, Parte 10, Parte 11.


Lezione 14 - martedì 9/11. Esercizi sui massimi e minimi vincolati, sviluppi di Taylor, o-piccolo e O-grande.
Dispense: Capitolo 2. Parte 8, Parte 11.


Lezione 15 - lunedì 15/11. Teorema della funzione implicita
Dispense: Capitolo 2. Parte 12.


Lezione 16 - martedì 16/11. Moltiplicatori di Lagrange. Teorema con dimostrazione in dimensione due; esempi in dimensione due e tre. Funzioni differenziabili a valori vettoriali. Caratterizzazione della differenziabità componente per componente. Teorema del differenziale totale per funzioni a valori vettoriali. Differenziale di una funzione a valori vettoriali. Composizione di due funzioni differenziabili. Formula per il differenziale della funzione composta.
Dispense: Capitolo 2. Parte 12, Parte 13.


Lezione 17 - venerdì 19/11 (anticipo della lezione di lunedì 21). Omeomorfismi e diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa.
Dispense: Capitolo 2. Parte 14, Parte 15.


Lezione 18 - martedì 23/11. Applicazioni multilineari alternanti. Forme differenziali su domini aperti. Prodotto esterno. Differenziale e derivata esterna. Esempi. Forme chiuse e forme esatte: definizioni. Campi vettoriali e forme differenziali. Le forme esatte sono chiuse. Curve regolari a tratti; curve equivalenti; concatenamento di curve.
Dispense: Capitolo 3. Parte 1, Parte 2, Parte 3, (Esercizi in Parte 4.), Parte 5.


Lezione 19 - venerdì 26/11 (anticipo della lezione di lunedì 6/12). Integrazione di 1-forme su curve. Integrazione di 1-forme esatte su curve chiuse. Esempio di una forma chiusa, ma non esatta. Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto sono uniformemente continue). Derivazione sotto il segno di integrale. Lemma di Poincaré (su un rettangolo le forme chiuse sono esatte). Aperti stellati - definizione. Teorema: Su un aperto stellato le forme chiuse sono esatte.
Dispense: Capitolo 3. Parte 6, Parte 7, Parte 9, Parte 10.

Calendario accademico

Orario delle lezioni

Titolare del corso: Prof. Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it