tc

F r a n c i s c i M a u r o l i c i O p e r a M a t h e m a t i c a

Emendatio et restitutio Apollonii Pergaei conicorum elementorum

Liber secundus

Propositio 50

49^a Coni sectione data, et puncto non intra sectionem; ducere a puncto lineam ad unum¹ tangentem sectionem.

Sit data coni sectio prius parabole ab cuius axis bd. // Oportet utique a dato puncto, quod non est intra sectionem, ducere tangentem lineam. // Datum autem² punctum, vel in sectione³, vel in axi, vel in aliquo extra loco.

// Sit igitur primum in periferia, et sit a. // Et fiat tangens et⁴ sit ae et⁵ kathetus ducatur ad datus iam positione: ipsique db aequalis be per 35^am praemissi⁶, datum itaque e.

// Componitur autem sic, ducatur ab a kathetus ad et ponatur ipsi bd aequalis be et coniungatur ae. Manifestum utique quod ae tangit sectionem apud a per 33^am praecedentis.

Sit rursus datum punctum e in axi fiat et ducatur tangens ae et kathetus ad igitur⁷ per 35^am praecedentis be aequalis bd itaque ed datur positione et magnitudine: datur ergo d cumque detur da dabitur a datum fuit e datur ergo ae positione.

// Componetur autem sic: ponatur bd aequalis be et a puncto d excitetur ad rectos da et coniungatur ae quae per 33^am praemissi apud a tanget sectionem.

Quod si datum punctum sit b summitas scilicet axis. Tunc ab ipso b puncto ad rectos axi, excitata tanget sectionem, per 32^am praemissi.

Demum sit datum punctum extra axim, ut g fiat et sit tangens ga et per g ducatur gz aequidistans axi bd positione igitur datur gz et a puncto a ordinate ducatur ad gz diametrum linea az eritque per 35^am praemissi, gh aequalis hz ipsam⁸ autem az aequidistans iam per 5^am huius, tangenti apud h positione datur: cum z datum sit. Itaque et a punctum datum. // Componetur autem sic. Ducatur per g ipsi bd aequidistans gz ipsique gh aequalis ponatur hz et ducatur za penes tangentem apud h et coniungatur ag namque, per 46^am praemissi, az ordinate applicatur: et per 33^am eiusdem ag tanget apud a sectionem: quod faciendum proponitur.

[S:75] Data hyperbola, a dato puncto extra, eam tangentem ducere.

Sit hyperbole, cuius axis gbd. // Centrum t. // Non tangentes⁹ et tz.

[A:56r]

// Datum autem punctum, aut erit in sectione, vel in axi, vel in altera non tangentium¹⁰, vel denique in aliquo¹¹ inter non tangentes¹² ac sectionem.

// Si quidem omnis linea vel ab angulo non tangentium¹³ hoc est a centro, vel ab aliquo puncto diametri supra centrum ducta in sectione secat sectionem per 29^am praemissi, atque per 2^am huius. // Quare non speres inde tangentem ducere.

// Sit itaque primo datum punctum¹⁴ in sectione, ut a et fiat: et sit¹⁵ tangens ah et ducatur kathetus ad transversa vero diameter sit¹⁶ bg. // Erit utique per 36^am praemissi, sicut gd db sic gh hb. // Ratio autem gd db data. Ergo et ratio gh hb datur. // Sed gb data.// Datum¹⁷ ergo punctum h datum autem fuit punctum a. // Igitur ah positione¹⁸. // Componetur sic. Ducatur a puncto a kathetus ad. // Et sicut gd db sic fiat gh hb et coniungatur ah quae per 34^am praecedentis, tanget apud a sectionem.

Rursus utique sit datum punctum in axi, quod sit h et fiat, et ducatur ah tangens, et kathetus ducatur ad. // Per eadem utique erit ut gh hb sic gd db. // Et est data gbd datum igitur d sed ad rectos da datur ergo da positione: ipsiusque¹⁹ a punctum in periferia. Datum autem et h. // Igitur ah positione²⁰. // Componetur autem sic fiat ut gh hb sic gd db. // Et ad rectos axi excitetur da et coniungatur ah quae ut prius, per 34^am praemissi, apud a tanget sectionem.

Eisdem subiectis. Sit datum punctum c intra angulum etz.

// Fiat et sit ca tangens. // Et coniuncta ct producatur rursum et ad periferiam: ponaturque ipsi tl aequalis nt²¹.

// Omnia igitur data. // Ducatur ordinate am ad ipsam mn diametrum. // Eritque, per 36^am praemissi, sicut nm ml sic nc cl. // Datur autem ratio nc cl propter t c puncta data: datur ergo ratio²² nm ml. // Datum autem l igitur et m punctum datur. // Sed ma tangenti apud l aequidistans datur positione: datur ergo a punctum in periferia.

// Datum etiam est c igitur ac tangens positione²³.

// Componetur autem sic ct coniuncta producatur: et ponatur tn aequalis lt.

// Utque nc cl sic [[sit]]²⁴ nm ml et ducatur ma aequidistans tan- [A:56v] genti apud l.// Et coniungatur ca quae per 34^am praemissi, apud a punctum tanget sectionem.

Eisdem subiectis. Sit datum punctum z in una non tangentium²⁵. // Fiat, et sit zae tangens, quae, per 3^am huius coincidit non tangentibus²⁶ hinc, et inde. // Et ducatur ipsi et aequidistans ad. // Et, quoniam per 3^am huius, za aequalis ae erit, per 2^am sexti zd aequalis dt. // Datum igitur d et ipsa ad positione. // Quare a punctum in periferia datur. Sed et z datum. // Ergo et zae positione.

// Componetur autem sic. Secetur zt bifariam apud d ipsique te aequidistans ducatur da et producatur zae. // Et quoniam zd aequalis dt erit et za aequalis ae. // Quare per 9^am huius zae apud a tangit²⁷ sectionem.

Eisdem subiectis, sit datum punctum sub angulo extrinseco non tangentium²⁸, quod sit c. // Fiat utique, sitque ca tangens: et coniuncta ct dabitur positione. // Cui aequidistans per g utcumque relictum in sectione punctum, ducatur gd quae per medium secetur, apud e et coniuncta te producatur diameter iam positione existens coniugata ipsi tc et periferiam secans apud b. // Ponaturque ipsi bt aequalis th. // Et per a tactum²⁹ ducatur al aequidistans ipsi bt. // Et quoniam bh cl coniugatae sunt diametri: tangens autem ac et ipsa al penes bh iam, per 38^am praecedentis, rettangolo

ctl aequale est quadrato

quod ex 2^a semidiametro, hoc est quadrante speciei ad bh adiacentis. Datur autem species, datis iam pridem sectionis diametris: datur ergo rettangolo

ctl. // Sed ct data, datis iam punctis inclusa: datur igitur tl. // Estque positione datum t datum ergo l.

// Igitur la aequidistans ipsi bh positione datae datur positione. // Quare a punctum datum: sed c datum est. Ergo et ca positione.

// Componetur autem sic.// Coniungatur ct et producatur, cui aequidistans, per g relictum punctum agatur in sectione gd quae bifariam secetur apud e.

[S:76] // Et coniungatur et secans periferiam apud b ipsique bt aequalis ponatur th. // Eruntque hb cl coniugatae diametri: quoniam³⁰ cl ordinate ducta ad ipsam bh. // Ponatur utique rettangolo ctl quadrans speciei ad [A:57r] bh adiacentis. // Et ducatur la aequidistans bh et coniungatur ca. // Quae per conversionem 38^ae praecedentis libri apud a tanget sectionem.

// Productis autem rursum non tangentibus³¹ ad z p iam a quovis puncto dato intra ztp impossibile est duci tangentem. Nam a tali puncto linea deducta ad periferiam sectionis ab secat utramque non tangentium³² ad angulum extrinsecum, quare per 16^am huius secabit sectionem. // Vel sic, si possibile³³ talem lineam tangere sectionem: iam per 24^am praemissi libri, coincidet diametro bh et ideo, per 29^am eiusdem secabit sectionem: quod est contra suppositum.

Data ellipsi a dato³⁴ dato non intra puncto, tangentem ducere.

Sit ellipsis ab. // Cuius axis gd. // Datum punctum primo in periferia, quod sit a. // Fiat, et sit ah tangens. // Et ab a ad axim kathetus ducatur ad. // Eritque datum d. // Atque per 36^am praecedentis, ut gd

db sic gh

hb.

// Datur autem ratio gd db. // Ergo et ratio gh hb datur, et disiunctim ratio gb bh dabitur. // Itaque bh datur: et punctum h datum: sed a datum: igitur et ah positione.

// Componetur autem sic. Ducatur kathetus ad. // Sitque sicut gd db sic gh hb. // Et coniungatur ah quae, per 34^am praemissi, iam apud a tanget sectionem.

Rursum sit datum punctum c extra sectionem. // Fiat et sit tangens ca. // Et per a³⁵ et ipsum t centrum agatur diameter cltn periferiae coincidens ad puncta l n data iam positione. // Ducta quam³⁶ am ordinate ad diametrum / erit, per 36^am praemissi, sicut nc cl sic nm ml.

// Datur autem³⁷ ratio nc

cl³⁸ datur ergo et ratio nm

ml³⁹ datum ergo m punctum. Sed ma aequidistat tangenti ad l per 6^am huius: ergo datur positione: et ideo a datum⁴⁰: et perinde ac positione. // Componetur autem sic. Ducta iam diametro cltn sit sicut nc

cl sic nm

ml. // Et ducatur ordinate ma⁴¹ // Et coniungatur ac quae sicut prius, per 34^am praecedentis apud a tanget sectionem.

// Itaque absolutum problema: factumque, quod faciendum proponebatur.

Panhormi 23 feb. 1547⁴²

[A:57v] ⁴³ 50^a⁴⁴

⁴⁵ Data coni sectionem, tangentem ducere, quae ad axim angulum faciat ad eandem sectioni aequalem dato acuto.⁴⁶

Sit coni sectio prius parabole, cuius axis ab.⁴⁷

// Oportet utique ducere lineam, quae tangat sectionem faciens ad axim ab angulum ad eandem sectioni aequalem dato acuto.⁴⁸

// Fiat tangens et sit dg. // Ordinate autem gb hoc est ad rectos axi. // Et coniungatur ag. // Et [[quoniam]] angulus b rectus; et qui ad d datus; ideo et qui ad g datus;⁴⁹

// itaque ratio db bg data. Sed db bg positione; // igitur et dg positione.⁵⁰

// Componetur autem sic. // Sit datus angulus acutus ezh. // Et kathetus eh. // Et zh bifariam secetur apud t. // Et coniungatur te. // Et ponatur angulus bag aequalis angulo hte. // Et ducatur kathetus bg. // Et ipsi ba aequalis ponatur ad. // Et coniungatur gd. / Quae per 33^am praecedentis libri tanget apud g sectionem. // Et quoniam anguli ad hb recti: et anguli eth gab aequales: ideo similia sunt triangolo the abg. // Quare per 4^am 6ⁱ Euclidis sicut thhe sic abbg. // Sed sicut zh ht sic db ba. // Ex aequo igitur, sicut zh he sic db bg. // Cumque anguli hb sint aequales: // iam per 6^am Sexti Euclidis aequianguli sunt zhe dbg. // Ergo anguli, qui apud zd aequales. // Itaque tangens ducta est dg faciens cum axe db angulum d aequalem dato angulo z. // Quod faciendum proponitur.⁵¹

⁵² Sit sectio hyperbole. Et fiat, et sit tangens gd. // Centrum autem sectionis e. // Et coniungatur ge. // Et kathetus gb.⁵³

// Ratio igitur ipsius rettangolo ebd quadrato bg data: est enim per 21^am praemissi, quae transversae ad rectam. // Angulus autem gde datus: et qui ad b rectus. // Datur ergo triangolo gde specie. // Et perinde ratio dbbg datur. // Quae si auferatur a ratione ebd bg superest ratio ebbg data. // Sed eb bg positione dantur: ergo et eg positione.⁵⁴

// Ducatur non tangens ez cui, per 3^am huius, coincidet dg tangens: // coincidat ad z. // Maior igitur erit angulus zdb angulo zed extrinsecus videlicet intrinseco. // Oportebit itaque in compositione datum angulum maiorem esse dimidio anguli contenti sub non tangentibus.

// Itemque si ponatur gdb datus angulus: et ablata ratione db

bg ad ipsa ratione tranversae ad rectam, supererit iam ratio eb

bg ita ut maior sit eb quam bd.⁵⁵

// Componetur itaque problema sic. // Sit datus acutus htk data hyperbolae quam prius. // Ducatur kathetus hk. // Sitque l tranversa sectio[A:58r]nis. Recta vero m. // Deinde sicut tkkh sic fiat ln. // Tum autem sicut nm sic fiat pkkh maior autem erit pk quam kt sic maior erat eb quam bd. // Et connectatur hp. // Eritque angulus kph minor angulo bez dimidio scilicet anguli sub non tangentibus contenti, sicut patuit. // Ponatur itaque ipsi p angulo aequalis beg angulus. // Ductoque katheto gb sit sicut kttp sic et bdde. // Et coniungatur dg.⁵⁶

// hucusque Castellobono⁵⁷

Inizio della pagina