Lezione 1 - lunedì 28/02/2022, dalle 09:00 alle 11:00. Introduzione al corso.
Formulazione debole e formulazione variazionale del problema di Poisson su un dominio aperto e limitato.
Limitatezza delle soluzioni.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1, Parte 2.
Lezione 2 - giovedì 03/03/2022, dalle 18:00 alle 20:00. Stime L2 - L-infinito per le soluzioni del problema di Poisson.
Stime L-infinito per le autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet. Regolarità Hölder all'interno e fino al bordo delle soluzioni del problema di Poisson - enunciato.
Una caratterizzazione degli spazi di Sobolev in domini aperti con stima di densità esterna.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2, Parte 3, Parte 4.
Lezione 3 - lunedì 07/03/2022, dalle 09:00 alle 11:00.
Teorema della media per soprasoluzioni e sottosoluzioni.
Definizione puntuale delle soprasoluzioni e le sottosoluzioni.
Continuità Hölder all'interno via la proprietà della media.
Stima Hölder fino al bordo via la proprietà della media.
Dispense: Capitolo 1. Parte 5, Parte 6, Parte 7.
Lezione 4 - giovedì 10/03/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Continuità Hölder fino al bordo via la proprietà della media - conclusione. Problemi ellittici in forma di divergenza.
Disuguaglianza di Caccioppoli. Teorema di De Giorgi (Parte 1): stima L-infinito - L2.
Dispense: Capitolo 1. Parte 7, Parte 8.
Lezione 5 - lunedì 14/03/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Teorema di De Giorgi (Parte 2): conclusione.
Dispense: Capitolo 1. Parte 8.
Lezione 6 - giovedì 17/03/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Funzioni armoniche in domini limitati: esistenza, formulazioni debole e variazionale, principio del massimo debole.
Esempio di una funzione armonica in un dominio regolare, con dato Lipschitz al bordo che non è lipschitziana fino al bordo.
Dispense: Capitolo 1. Parte 9, Parte 10.
Lezione 7 - lunedì 21/03/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Esempi di funzioni armoniche omogenee in coordinate polari.
Regolarità Holder delle funzioni armoniche in domini lipschitziani con dato Lipschitz al bordo.
Cambiamento delle variabili per operatori in forma di divergenza. Teorema di Schauder - enunciato.
Dispense: Capitolo 1. Parte 11. Capitolo 2. Parte 1.
Lezione 8 - giovedì 24/03/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Regolarità Lipschitz delle soluzioni di operatori in forma divergenza con coefficienti Holder.
Le funzioni Sobolev con gradiente (debole) limitato sono Lipschitz.
Confronto dell'energia della soluzione con l'energia dell'estensione armonica.
Formula di Bochner per le funzioni armoniche. Stima iterativa per la media del gradiente.
Dispense: Capitolo 2. Parte 1, Parte 2, 2A.
Lezione 9 - lunedì 28/03/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Regolarità Lipschitz delle soluzioni di operatori in forma divergenza con coefficienti Holder - conclusione.
Regolarità Lipschitz fino al bordo. Stima del gradiente per le funzioni armoniche. Bounded slope condition.
Dispense: Capitolo 2. Parte 2, 2B, 2C.
Lezione 10 - giovedì 31/03/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Successioni e limiti di blow-up. Convergenza uniforme e debole delle successioni di blow-up.
I limiti di blow-up sono funzioni armoniche. Teorema di Liouville per le funzioni armoniche.
I limiti di blow-up sono funzioni lineari. Convergenza forte delle successioni di blow-up.
Unicità del blow-up.
Dispense: Capitolo 2. Parte 3, Parte 4.
Lezione 11 - lunedì 04/04/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Continuità e regolarità Holder del gradiente.
Eccesso L2 del gradiente - stima dell'eccesso per le funzioni armoniche e per soluzioni di problemi in forma divergenza.
Dispense: Capitolo 2. Parte 5.
Lezione 12 - giovedì 07/04/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Formula di monotonia di Weiss. Gradiente tangenziale e spazi di Sobolev sulla sfera.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7.
Lezione 13 - lunedì 11/04/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Funzioni armoniche omogenee. Armoniche sferiche. Disuguaglianza epiperimetrica.
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 8.
Lezione 14 - giovedì 14/04/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Dimostrazione del teorema di Schauder con la disuguaglianza epiperimetrica.
Stime di Schauder di ordine superiore. Applicazione del teorema di De Giorgi e le stime di Schauder
alla regolarità delle soluzioni di problemi variazionali.
Dispense: Capitolo 2. Parte 9, Parte 10.
Lezione 15 - giovedì 28/04/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Teorema di Serrin
Dispense: Capitolo 3. Parte 1.
Lezione 16 - lunedì 02/05/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Principio di massimo di Hopf in domini C1,a.
Comportamento asintotico delle funzioni armoniche in domini con angolo e C1,a a tratti nel piano.
Principio di Harnack al bordo di un dominio C1,a.
Principio di Harnack al bordo di un dominio C1,a a tratti nel piano.
Principio di Harnack al bordo di un dominio Lipshitz - enunciato.
Disuguaglianza di Harnack al bordo di un dominio Lipshitz - enunciato.
La disuguaglianza di Harnack implica il principio di Harnack.
Dispense: Capitolo 3. Parte 2, Parte 2A, Parte 4.
Lezione 17 - giovedì 05/05/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Disuguaglianza di Harnack al bordo di un dominio Lipshitz.
Dispense: Capitolo 3. Parte 3.
Lezione 18 - lunedì 09/05/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Disuguaglianza di Harnack al bordo di un dominio Lipshitz - stima L-epsilon - L-infinito.
Problema dell'ostacolo. Esistenza, unicità e subarmonicità delle soluzioni.
Dispense: Capitolo 3. Parte 3.
Lezione 19 - giovedì 12/05/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Problema dell'ostacolo. Esempi. Regolarità ottimale delle soluzioni.
Continuità delle soluzioni. Comportamento delle soluzioni vicino alla frontiera libera.
Regolarità C-1,1 delle soluzioni. Successioni e limiti di blow-up.
Lezione 20 - lunedì 16/05/2022, dalle 9:00 alle 11:00.
Formula di Weiss e l'omogeneità dei blow-up. Convessità delle soluzioni globali 2-omogenee.
Classificazione dei blow-up. Decomposizione della frontiera in parte regolare e parte singolare.
Lezione 21 - giovedì 19/05/2022, dalle 18:00 alle 20:00.
Decomposizione della frontiera in parte regolare e parte singolare secondo la formula di monotonia di Weiss.
La parte singolare è un insieme chiuso. Formula di Monneau. Unicità del blow-up nei punti singolari.
Regolarità della parte regolare via la disuguaglianza epiperimetrica.