|
Lemma I
1 Sit linea ab in quatuor portiones sic divisa, ut, extremae ag, bd sint aequales: mediae ge, ed quantecumque. Dico iam quod  ged agb pariter sumpta aequalia sunt aeb. // Nam per primam secundi Euclidis ag, eb hoc est ebd cum geb simul aequale est1 aeb. 2 // Item, per eandem, ag ed quod est edb cum ag db quod est quadratum utriusvis aequale est2 ag eb sive ebd. // Nec non ge db sive age cum ged simul aequale est lo geb. // Igitur quatuor rectangula videtur3  4 ag db ag ed age ged simul sumpta aequalia sunt aeb. 3 // Verum per eandem primam 2i agb aequale est tribus lis videlicet 5 ag db ag ed age. // Ergo pro tribus uno posito fiet agb cum ged aequale aeb. // Quod erat ostendendum.
|
|
|
agb vel gbd |
 |
ag db |
|
 |
ag eb |
vel ebd |
|
aeb |
|
ag ed |
vel edb |
|
age |
vel ge db |
|
geb |
|
|
ged |
|
|
|
6
Lemma II
4 Item sit linea ab in ternas portiones sic divisa, ut earum extremae ag, db sint aequales: media gd quantacumque: et extremarum altera bd utcumque divisa apud e. //Hoc est, ut prima quatuor portionum ag sit aequalis postremis de, eb. //Dico iam quod aeb aequale est sumptum cum ged ipsi adb. 5 // Nam per primam 2i Euclidis adb aequale est ade et ad be quod est gbe simul sumptis. //Item ade aequale est ag de quod est edb et gde pariter iunctis. //Nec non ad eb sive gbe aequale est ag eb quod est dbe et gd eb coniunctis. //Igitur adb7 aequale est quatuor rectangulis, videlicet ag de quod est edb gde ag eb quod est dbe et gd eb similiter aggregatis. 6 // Verum primum ex his8 scilicet ag de quod9 est edb per 3am 2i Euclidis aequale est de et deb. //Ergo adb aequale erit quinque rectangulis per10 primam 2i scilicet de11 deb gde ga eb gd eb. // Sed duo ex his, scilicet de et gde simul aequalia sunt ged. 7 Tria vero reliqua deb ag eb gd eb simul sunt aequalia aeb. //Igitur aeb cum ged aequatur adb. //Quod proponitur ostendendum.
|
|
|
|
 |
gde |
|
|
ged |
|
adb |
|
ade |
|
ag de |
<vel> edb |
|
ed |
|
|
deb |
|
aeb |
|
ad be |
<vel> gbe |
|
ag eb |
<vel> dbe |
|
|
gd eb |
|
|
|
12
8 [A:77v] 24a Si in contrapositis ad coniunctionem a centro ducantur ad sectiones duae lineae, et dicatur13 ipsarum altera transversa diameter, altera recta: et agantur quaedam penes diametros coincidentes invicem et sectionibus: sitque actarum coincidentia in loco, qui est inter quatuor sectiones; contentum sub sectionibus aequidistantis lateri transverso cum eo (ad quod rationem habet, quod est sub segmentis aequidistantis recto, eam quam, [S:104] quod fit ex recta ad quadratum, quod fit ex transversa) aequale erit tetragono, quod bis sit ex dimidio transversi.
9 Sint contrapositae ad coniunctionem a, b, g, d. // Quarum quidem centrum e. // Transversa diameter aeg. // Recta autem14 deb. // Ipsi aeg aequidistans zhxticl15. //Ipsique deb aequidistans mnxotpr16 coincidentes apud x. //Sitque in prima descriptione punctum x intra angulum sef. 10 //Dico iam quod zxl cum rectangulo, (ad quod rationem habet lum mxr quam db  ag) aequale est 17 ae. //Cum enim sa aequale sit de per 21am 2i eadem erit ratio 18 saf ea et de ea. 11 //Ratio autem 19 saf ea et ideo ratio de ea componitur quidem |
|
|
ex rationibus |
|
|
|
|
sa ae vel nx xt |
|
|
fa ae vel px xc |
|
|
|
|
|
ex quibus componitur ratio pxn ***20 propter similitudinem triangulorum. Igitur sicut de ea sic pxn cxt
12 Sed per 11am secundi Conicorum de aequale est pmn hoc est rnm. Itemque ea aequale est czt hoc est ltz. Namque per 8am et 16am 2i ipsae mn pr sunt aequales: ipsaeque lc tz aequales. |
|
|
13 Ergo, sicut de ea sic |
|
|
|
pxn |
|
|
|
cxt |
|
rnm |
ltz hoc est czt |
|
|
|
|
|
|
|
|
aequale autem est per primum lemmatum praecedentium |
|
|
|
simul rxm |
|
. |
|
|
14 //Itaque sicut de ea hoc est sicut db ag |
|
|
sic est rxm |
22 |
simul. |
|
|
|
|
|
Demonstrandum est igitur quod [A:78r] |
|
aequalia sunt 23 ea. |
|
|
//Et ablatis utrinque iam czt 24 ea invicem aequalibus. |
|
|
Restat demonstrandum quod |
|
aequalia sunt to ea. |
|
|
15 // Sunt autem: quoniam scilicet per secundum lemmatum praemissorum, |
|
|
ipsa |
|
aequalia sunt lo ltz hoc est czt quod est25 ae. |
|
|
//Verum ergo est, quod proponitur demonstrandum.
// Coincidant utique in secunda descriptione, zl mr uni nontangentium apud t. 16 // Eritque per 11am secundi Conicorum ztl aequale to ae. Itemque mtr aequum de. //Et ideo, sicut de ae hoc est, sicut db ag sic mtr ztl. //Quare ztl cum ipsomet ztl aequum26 ae. // Id scilicet quod proponitur si attendis, in principio demonstrandum. //
17 Sit demum in tertia descriptione, punctum x intra angulum sey vel fek. //Eritque, ut in primo casu, ex memorata rationum compositione. Sicut de ea sic pxn cxt. //Sed, per 11am 2i de aequale est pmn hoc est rnm. //Itemque ae aequale ltz. 18 //Igitur sicut rnm ltz totum scilicet ad totum, sic pxn cxt (cum videlicet, per secundum lemmatum, rxm cum pxn aequum sit27 rnm) ablatum ad ablatum. 19 //Quare et reliquum ad reliquum, hoc est ipsum, rxm excessum quo ltz (quod est ae) maius est lo cxt erit sicut totum ad totum, hoc est, sicut rnm ltz et ideo sicut de ea id est, sicut db ag. [S:105] //Demonstrandum igitur, quod zxl cum praedicto excessu, aequale est 28 ae. 20 //Cum autem, per primum lemmatum, ltz cum cxt aequale sit lxz. //Auferantur hinc ae inde vero ltz iampridem aequalia. //Et restat ostendendum quod ipsum cxt cum excessu memorato aequale est to ae. //Est autem, quoniam cxt cum tali excessu aequale fuit ltz et perinde ipsi ae. //Verum igitur quod proponebatur demonstrandum.
|