[S:46]

Lemma

Esto semicirculus abg. // Data ratio ez zh. // Oportet ipsi gb parallelum¹ ducere, utpote² rd coincidentem ipsi ag productae, ita ut rd adg sit sicut ez zh.

Ducatur a centro l kathetus³ ad ipsam bg usque ad periferiam ln⁴. // Et nm penes ipsam bg quae, per 15^am 3ⁱⁱ Euclidis tanget circulum. // Deinde sit [A:34v] ipsi ez aequalis zt. // Item th apud c bifariam secta.

// Et sicut zt tc sic sit⁵ mx xn. // Ipsique xn aequalis sit no. // Et coniungantur lx lo secantes periferiam⁶ apud r p. // Et coniungatur prd.

// Cumque sit zt tc sicut mx xn. // Et ct th sicut nx xo.⁸ // Erit ex aequali⁹ zt th sicut mx xo. // Et conversim ht tz sicut ox xm. // Et coniunctim¹⁰ hz zt vel ze sicut¹¹ om mx atque ideo sicut¹² pd dr.

// Sed¹³ pd dr sicut¹⁴ pdr dr per primam sexti Euclidis. // Cumque per 35^am tertii adg aequale sit pdr erit et pd dr sicut adg dr. // Igitur adg dr sicut¹⁵ hz ze. // Et conversim dr adg sicut¹⁶ ez zh. // Itaque pd est linea, quae ducenda¹⁷ proponitur.

53^a. Duabus datis lineis terminatis ad rectos invicem, altera producta in eodem recto angulo;¹⁸ invenire in producta coni sectionem nuncupatam hyperbolen in eodem plano lineis,¹⁹ ut productae exordium centrum sit²⁰ sectionis, summitas autem punctum ad angulum: quae autem²¹ ducitur a sectione ad diametrum angulum faciens aequalem dato possit id, quod adiacens rectangulum ad alteram lineam, latitudinem habens receptam sub applicata ad summitatem, excedens specie simili et similiter posita sub lineis a principio.

Sint ad rectos datae ab bg. // Et producatur ab usque ad d. // Angulusque datus primum rectus²².

// Oportet invenire hyperbolen in plano abg cuius transversa diametros ab. Recta vero sit bg. Summitas [[quae]]²³ punctum b. Et ordinate ductae a sectione ad bd sint ad datum angulum applicatae²⁴.

// Exurgat ex ab planum rectum ad subiectum planum: et in ipso circa ab circulus describatur aebz ipsa²⁵ el ipsam ab bifariam et ad rectos apud c secante et perinde diametro [[exente]]²⁶ ita ut²⁷ ec cl maior non sit, quam ab bg.

// Itaque si ec cl sit sicut ab bg capiatur l punctum. // Sin vero, sit ec cm²⁸ sicut ab bg et capiatur m punctum. // Et ducatur mz penes²⁹ ipsam ab. // Et coniungantur az ez zb. // Et agatur bx penes³⁰ ez. //

// Eritque per 26^am 3ⁱⁱ angulus aze aequalis angulo ezb quandoquidem aequales periferias subtendunt.

// Sed per 29^am primi Euclidis angulus aze ipsi zxb angulus autem ezb angulo zbx aequalis est.

// Igitur anguli zxb zbx invicem aequales: [A:35r] // Et ideo, per 6^am primi Euclidis ipsae bz zx aequales³¹.

// Itaque intelligatur conus: cuius vertex z basis vero circulus circa diametrum bx rectus ad bzx. Eritque rectus conus, quandoquidem bz zx aequales³².

// Deinde producantur zb zx mz ab totaque conica superficies: quae secetur plano, quod parallelum sit ipsi bx circulo. Sitque sectio circulus per 4^am huius, ptr³³ cuius diameter th.

// Eritque cir[S:47]culus ptr sicut circulus bx rectus ad zht. // Quare per 19^am 11ⁱ Euclidis pdr linea, quae communis sectio est subiecti plani et circuli ptr recta erit ad idem zht et ideo ad ipsas th db.

// Itaque, quoniam sectionis pbr quam subiectum planum rectum ad zht in cono facit, diameter³⁴ db coincidit³⁵ lateri coni hz producto supra verticem apud a. // Ideo, per 12^am huius sectio pbr hyperbole³⁶ est: cuius diameter³⁷ ab vertex b et ordinate ductae ad rectos diametro. // Et quoniam ab³⁸ bg sicut³⁹ ec cm et ideo sicut [[en]] [[nz]] per 2^am sexti Euclidis ideo et⁴⁰ sicut enz nz⁴¹, per prima eiusdem sexti.

// // Sed enz aequale est anb per 34^am. tertii:⁴²: igitur ab bg sicut⁴³ anb nz.

// Producta vero zo penes ipsam bd anb nz

ratio componetur ex rationibus an nz ad dh zo oh bn nz bd dt zo ot 44

propter linearum aequedistantiam et similitudinem.

// Igitur et ratio ab bg componetur45 ex rationibus zo oh zo ot

ex quibus componitur ratio zo hot. // Quare ab bg sicut⁴⁶ zo ho. //⁴⁷ Cumque zo aequedistet ipsi ad. // Erit per 12^am huius ab transversum: bg vero rectum sectionis pbr hyperboles latus.

// Factum ergo⁴⁸, quod proponebatur faciendum.

Sed non sit iam datus angulus rectus: sintque datae lineae ab ag. // Datusque angulus bat.

// Oportet itaque describere hyperbolen, cuius diameter ab. // Recta vero ag. // Ordinate autem ductae ad angulum tab applicandae.

// Secetur ab bifariam in puncto d. // Et circa ad describatur semicirculus azd. // Et penes ipsam at ducatur zh coincidens ipsi da productae in h. [A:35v] Ita ut zh dha sit sicut ag gb⁴⁹ sicut⁵⁰ lemma praemissum docet⁵¹. // Et coniungatur ztd. // Et ipsarum zd dt media proportionalis sit dl. // Ponaturque ipsi ld aequalis dc et lzm

// Eritque at tangens sectionem, per conversam 37ae huius quoniam zdt dl aequalia57.

Cumque ab eat per d centrum secabit actas in sectione ipsi ta tangenti parallelos, et⁵⁸ ideo ad angulum bat ordinate ductas, bifariam singulas, per 47^am huius , et perinde ipsa ab diameter erit sectionis.

// Et quoniam ga duplam ipsius ad hoc est ab⁵⁹ sicut⁶⁰ zh dha. //

Atque ratio ga ab componitur ex rationibus

ga duplam ipsius at duplae at ab vel at ad vel zh hd

.

// Itemque ratio zh dha componitur ex rationibus zh hd zh ha .

// Propterea ratio composita ex rationibus zh hd zh ha

aequalis est rationi compositae ex rationibus ga duplam at zh hd .

// Communis auferatur ratio zh hd et supererit ga duplam at sicut zh ha verum zh ha sicut⁶¹ oa ax propter similitudinem. Igitur oa ax sicut⁶² ga duplam at.

// Quare per 50^am huius ipsa ag recta diametros est hyperboles al.

// Rursus ergo factum est: quod faciendum proponebatur.