LEMMA

In circulo abg sit ab chorda: et ag diameter: data ratio de ez. Oportet a diametro ad periferiam ducere lineam¹ penes ipsam ab ut pote ro ita, ut ro arg sit sicut de ez.

Ponatur ipsi de aequalis zh et eh bifariam secetur apud t et a circuli cen[S:48]tro

// Et quoniam tz zh sicut² lm mn.

Et conversim zh zt sicut mn lm.

Et coniunctim ht tz sicut nl lm.

Et conversim zt th te

sicut ml ln lx .

Et coniunctim ze et th

sicut mx lx ln .

Et conversim te th ez

sicut lx mx mx .

Ideo ex aequali, quandoquidem zh tz th ze continuant tres rationes, quas continuant mn lm ln mx singulas singulis aequales; erit zh sive de ez sicut mn mx.

Cumque, propter angulos ad l rectos, et lineas³ ln lx et ipsas oc cp⁴ aequales ipsae⁵ nx op sint paralleli⁶.

Propterea cmn cro sunt invicem aequiangula: itemque ipsa cmx crp invicem aequiangula.

Quare, per 4^am 6ⁱ Euclidis mc cr sicut⁷ mn ro et sicut mx pr. Et permutatim nm ⁸ mx et ideo de ez sicut or rp⁹ et ideo per primam 6ⁱ sicut or orp¹⁰.

Sed, per 33^am tertii orp aequale est arg igitur sicut or arg sic¹¹ de ez. Estque or penes ipsam ab.

Itaque or est linea, quae ducenda proponitur.

54^a Duabus datis lineis terminatis ad rectos invicem; invenire circa diametrum alteram ipsarum coni sectionem vocatam ellipsin¹², in eodem plano lineis¹³, cuius summitas sit punctum, quod est ad rectum angulum applicatae autem a sectione ad diametrum in dato angulo possint id, quod adiacentia rectangula ad alteram lineam¹⁴, latitudinem habentia receptam sub ipsa ad summitatem sectionis, deficientia specie simili et similiter posito¹⁵ contento sub datis lineis.

Sint ad rectos datae ba ag quarum maior ab. // Datusque angulus primum¹⁶ rectus.

// Oportet in subiecto plano bag ellipsim describere: cuius diameter sit ab. // Summitas a. // Recta diametros ag. // Et ordinatae¹⁷ ad datum angulum applicatae.

Exurgat ex ab planum rectum ad subiectum, in quo circuli peripheria adb describatur bifariam secta apud d. Et coniungantur ad db¹⁸.

Sitque ipsi ag aequalis ax.

Et penes ipsam db agatur xo¹⁹. Et penes ipsam ab agatur oz.

// Et coniungantur az zb et producantur. Et a puncto utcunque²⁰ relicto in za quod sit h agatur penes de linea ht coincidens ipsi ab apud c ipsique zo apud l.

// Eritque, per 26^am tertii Euclidis angulus abd²¹ aequalis angulo dzb.

// Et quoniam²², per 16^am primi Euclidis angulus eza exstrinsecus aequalis est angulis zad zda sibi intrinsecus oppositis: et ideo aequalis angulis zbd zba per 26^am tertii: et ideo toti angulo adb et ideo ipsi angulo dzb. Atque, per 29^am primi, angulus eza aequalis angulo zht coalterno: et angulus dzb aequalis angulo zth coalterno. Propterea anguli zth zht sunt invicem aequales. Quare per 6^am primi Euclidis hz zt lineae aequales.

Describatur itaque circulus htn rectus ad thz.

Et intelligatur conus, cuius basis circulus ipsae htn vertex vero z qui rectus erit propter latera hz zt aequalia.

Et quoniam tam cir[S:49]culus htn quam subiectum planum rectum est ad thz ideo, per 19^am undecimi Euclidis circuli htn subiectique plani sectio communis, quae sit recta cm recta erit ad planum , quod per²³ thz.

Et perinde ipsa cm et omnis ei parallelus recta²⁴ erit, hoc est ad rectos ipsis²⁵ ac ch.

Itaque quoniam subiectum planum rectum²⁶ ad thz quod per axem coni et coincidens hz zt lateribus coni secat conum tzh.

Ideo, per 13^am huius, sectio facta in cono, cuius diameter ab ellipsis est, cuius summitas a et ordinatae²⁷ ductae ad rectos diametro.

Et quoniam de ez per primam sexti , sicut²⁸ dez vel bea²⁹ per 35^am tertii ez et sic est da ao ba³⁰ ax per 2^am sexti et ba ag.

Et ratio bea ez componitur ex rationibus be ez bc ct zl lt ae ez ac ch zl lh .

Ideo et ratio ba ag componetur ex iisdem rationibus zl lt zl lh .

Sed ex iisdem rationibus componitur ratio zl hlt. Igitur³¹ sicut zl hlt sic³² ba ag.

Iisdem subiectis, sit ab minor, quam ag. // Et oporteat³⁵ circa ab diametrum, ellipsim describere, cuius recta sit ag.

// Secetur ab bifariam apud d et ducatur edz ad rectos ab. // Sitque ez media proportionalis inter ba ³⁶ ag et apud d bifariam secta. // Item zh penes ipsam ab. // Sitque ut ga ab [A:37r] sic ez zh. // Quare ez maior³⁷, quam zh. // Et quoniam ag³⁸ ez ab sunt in proportione continua: ideo, per 17^am sexti Euclidis ag ab et ideo ez zh sicut³⁹ ez ab et sicut dz da⁴⁰.

// Describatur igitur, ut prius, ellipsis, cuius diameter ez recta vero⁴¹ zh. // Quae sit azbe. // Ibit enim per a quoniam zde da sicut⁴² ez zh per conversionem corollarii 13^ae huius. Ibit etiam per b quandoquidem ad db aequales.

// Et quoniam ga ab sicut⁴³ dz da et conversim: ideo, per eiusdem corollari conversionem, recta sectionis est ag.

// Vel argue, per conversionem 2ⁱ corollarii: quoniam ez secunda diametros media proportionalis fuit inter ba primam diametrum et ipsam az⁴⁴ sitque ba transversa; erit az⁴⁵ recta diametros⁴⁶. // Rursus ergo factum, quod proponitur.

SCHOLIUM

Attendendum⁴⁷ in praesenti descriptione, quod sicut ba transversa diametros in ellipsi⁴⁸ habet rectam suam ag. // Ita et posita ez transversa sortitur ipsam zh rectam. // Unde, sicut patuit in 15^a huius, eiusque corollario⁴⁹ , ag ez ba sunt in proportione continua: itemque ez⁵⁰ ba zh continue proportionales⁵¹: quare, et ag ez ba zh quatuor sunt in proportione continua.

Sed non sit iam datus angulus rectus, utpote⁵² bad. Caeteris, ut ante, admissis. // Secetur tunc ab per medium apud e. // Et super ae diametro describatur semicirculus aze. // Et ducatur zh penes ad ita, ut zh ahe sit sicut ga ab quemadmodum docet⁵³ lemma praemissum. // Et coniungantur az ze et producantur. // Sitque ipsarum de ez media proportionalis et ipsique⁵⁴ et aequalis sit ec.

// Et tzl aequale sit⁵⁵ az. // Et coniungatur cl at⁵⁶. // Et penes ipsam az agatur ipsa ntm coincidens ipsis ba cl apud n m.

// Quibus peractis, sicut antea, describatur ellipsis, cuius diameter ct recta vero tm et ordinate ductae ad rectos ipsi tc quae sit atbc⁵⁷. Ibit enim per a ex conversione corollarii 13^ae huius, quandoquidem az aequale est tzl ibit et, per b quoniam ae eb aequales⁵⁸. Centrumque⁵⁹ sectionis erit e diametrique ab ct. // Et ipsa da tanget sectionem, per conversam 37^ae60 huius, quoniam scilicet⁶¹ dez aequale⁶² et. // Quare, per 47^am ab secabit actas in sectione ipsi ad parallelos, et ideo ad angulum datum bad ordinate ductas, singulas bifariam, et perinde diameter erit.

// Et quoniam ga ab sicut⁶³ zh ahe et ratio ga ab [A:37v] componitur ex rationibus ga duplam da et duplae da ab vel da ae vel zh [S:50] he.

Et ratio zh ahe componitur ex rationibus zh he zh ha .

Ideo ratio composita ex rationibus zh he zh ha

aequalis est rationi compositae ex rationibus ga duplam da zh he .

Communis auferatur ratio zh he.

Eritque sicut zh ha vel xa an sicut ag duplam da.

// Quamobrem, per 50^am huius ag recta est ellipseos atbc cuius transversa diametros supponitur et ostensa fuit esse ba. // Adhuc ergo⁶⁴ factum quod proponitur faciendum.