[A:27v] 45^a Si hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli periferiam linea tangens coincidat secundae diametro: et a tactu ducatur quaedam linea ad¹ eandem² diametrum aequidistans³ alteri diametro: et per centrum et tactum linea producatur⁴: et a relicto, ut contingit, in sectione puncto agantur⁵ duae lineae ad secundam diametrum, haec quidem penes⁶ tangentem: illa vero penes⁷ aequidistantem diametro; factum sub ipsis triangulum maius erit⁸ quam triangulum abscisum⁹ a producta per centrum tactumque, in triangulo, cuius basis tangens, summitas autem centrum sectionis, in hyperbole: at¹⁰ in ellipsi¹¹ et circulo, factum sub iisdem actis triangulum, cum // triangulo absciso¹², aequale est triangulo, cuius basis tangens, summitasque¹³ centrum sectionis.

Sit hyperbola, ellipsis, vel circulus abg. // Cuius prima diametros at. // Altera td. // Centrum t. // Tangens lgm. // Tactus punctum g. // Ipsa gd aequidistans¹⁴ ipsi at. // Et¹⁵ coniuncta gt. // A quovis relicto in periferia¹⁶ puncto b agantur duae lineae usque ad td¹⁷ productam, quae [[sunt]]¹⁸ be penes¹⁹ ipsam lgm²⁰ tangentem: et bz penes²¹ ipsam gd in[S:38]cidens ipsi gt apud h punctum.

// Dico iam quod in hyperbola bez aequale est htz lgt simul .

In ellipsi autem et circulo lgt aequale est bez htz simul .

// Ducantur enim gc bn penes²² ipsam dt ordinate scilicet ductae, namque²³ secunda diametros semper est ex numero ordinate ductarum ad primam.

// Eritque per 19^am24 huius ratio gc ct composita ex duabus rationibus²⁵ 1 [[sic]]

rectae transversam cm gc vel gd dl vel td dg propter similtudinem

.

// Verum [A:28r] gdl est species²⁶ ex ct // Atque gct vel gdt est species²⁷ ex gc sive dt.

// Igitur per 41^am huius, quandoquidem [[quod]]²⁸ ibi affirmantur de parallelogrammis, idem sequitur²⁹ de triangulis, quae sub illis³⁰ assignata³¹ conditione sunt parallelogrammorum dimidia.

// In hyperbole quidem gdl aequale erit gct vel gdt ex ipsa at simili lo dgl .

// In ellipsi autem et circulo gdt vel [[gct]] gdl simul

aequalia sunt ^lo ex ipsa at simili ^lo dgl

// Sed in hyperbola gdl aequum est dgt tgl simul .

// In ellipsi autem

dgt gdl simul aequalia sunt tgl .

// Igitur utrobique tgl aequale est ^lo ex at simili gdl.

// Et quoniam propter aequidistantiam linearum bze simile^{32 lo} gdl et hzt simile ^lo gdt ideo, sicut td dg sic tz zh et sicut gd dl sic bz ze.

// Quare sicut ratio td dg componitur ex rationibus rectae transversam gd dl .

// Ita nunc ratio tz zh componitur ex rationibus rectae transversam bz ze

fitque bze ex ipsa nt et hzt ex ipsa bn hoc est tz.

// Rursum ergo per 41^am huius, in hyperbola bze aequale est

hzt ex ipsa at simili lo gdl

quanta est area tgl.

//

In ellipsi autem et circulo

bze hzt

simul aequalia³³ sunt ex ipsa at, simili gdl³⁴ et perinde ^lo tgl. // Sicut fuit demonstrandum.

Scholium

Oportuit³⁵ tam hyperboles, quam, ellipseos et circuli descriptionem tripliciter variari³⁶ pro vario situ puncti b utcumque relicti.