19

72 Si ab angulis ad centrum rectae concurrant in hexagono, pentagono, quadrato, triangulo: in hexagono quidem sex triangula, in pentagono quinque, in quadrato quatuor. In triangulo, tres triangula loci planitiem implebunt. Sed in sex triangulis locum implentibus unumquodque ipsorum est aequilaterum: in caeteris vero unumquodque triangulum est isosceles. 73 Nam latus, quod angulum ad centrum exeuntem subtendit, magis est utrolibet reliquorum: et potentialiter ad utrumlibet illorum duplum est, ubi quatuor triangula locum implent, triplum vero, ubi tria: illud enim ex penultima primi, hoc ex 8^a 13ⁱ Elementorum patet apertissime. Quando itaque sex anguli locum implent aequales⁵⁴, unus ex illis angulis est angulus trianguli aequilateri, et linea subtendens angulum est aequalis utrilibet angulum continenti. 74 Quando autem quatuor anguli aequales locum implent, quilibet illorum est angulus quadrati, et latus illum subtendens est duplum potentialiter utrilibet reliquorum. Quando vero tres anguli aequales locum implent, quilibet illorum est angulus hexagoni aequilateri et aequianguli, et latus illum angulum subtendens triplum est potentialiter utrilibet reliquorum brachiorum. 75 At quando quinque anguli aequales locum implent, unus ex illis angulis nullius figurae aequilaterae angulus est: latus autem illum subtendens non habet ad⁵⁵ utrumlibet laterum angulum comprehendentium proportionem rationalem vel longitudine vel sal[A:7r]tem tantum potentia. Atque ideo investigabimus proportionem hanc prope verum, quatenus proposito nostro conveniet. Heque est huiusmodi ratio alia, quam⁵⁶que lateris pentagoni ad circuli, intra quem describitur semidiametrum. 76 Suppono itaque circuli semidiametrum esse particularum 1000000 hunc numerum divido secundum extremam⁵⁷ mediamque rationem, quoad fieri potest prope verum, per doctrinam 11^ae 2ⁱ Elementorum, eritque maius numeri segmentum maius quam partes 618033, minus vero quam partes 618034. Tantum autem esse oportet latus decagoni ipsi circulo inscripti, per 3^am 14ⁱ. 77 Quadratum autem partium 618033 est 381964789089; quadratum vero partium 618034 est 381966025156; quadratum ergo lateris decagoni est maius illo minus vero hoc numero. Mox iungo utrumque horum quadratorum per se cum quadrato semidiametri: sic enim per 10^am 13ⁱ habebo quadratum lateris pentagoni maius quidem quam 1381964789089⁵⁸, minus vero quam 1381966025156. 78 Quando igitur quinque anguli aequales locum implent, latus subtendens unum ex illis ad utrumlibet reliquorum laterum rationem maiorem, quam 1381964789089 ad 1000000000000, minorem vero quam 1381966025156 ad 1000000000000: hunc nos angulum vocabimus quatuor quintarum angulum, eo quod habeat quatuor quintas unius recti.