VIII. Ab angulo quolibet dati trianguli ad basim lineam rectam ducere; quae ad mediam proportionalem inter facta basis segmenta, datam habeat rationem. Oportet autem datam rationem non minorem esse ea, quam habet linea bisariam dividens angulum ipsum ad mediam proportionalem inter a se facta basis segmenta.

Sit datum triangulum abg, in descriptione praemissae; data ratio, quam habet o linea ad linea p.

Et oporteat ab angulo b ad basim ag rectam lineam ducere, quae ad mediam proportionalem inter basium facta segmenta rationem habeat, quam linea o ad lineam p. Secetur per medium angulus abg, ducta bd; et producta ad peripheriam ad punctum t; et sint ipsae o, p, r continuae proportionales, et si fuerit sicut o ad r, sic bd ad dt, iam tunc, fiet sicut o ad p, sic bd ad mediam proportionalem inter bd, dt; quae media proportionalis est inter ad, dg, et ideo in eo casu bd est linea, quam ductum iri voluimus. Si autem non fuerit sicut ad r, sic bd ad dt, oportebit quidem maiorem esse proportionem o ad r, quam bn ad dt; ut maior sit ratio o ad p, quam bd ad mediam proportionalem inter bd, dt; quae est media inter ad, dg. Nam si minor esset ratio o ad p, quam bd ad mediam inter ad, dg: problema non esset possibile; cum per praecedentem bd minimam habet rationem earum, quam habent descendentes ab angulo b ad basim ag, ad mediam proportionalem inter facta basis segmenta. Cum itaque maior sit ratio o ad p, quam bd ad mediam proportionalem inter bd, dt; vel inter ad, dg, maior utique erit ratio o ad r, quam bd ad dt. Sit ergo sicut o ad r, sic bd ad dm; et penes ipsam ag ducatur kml; et coniunctae kb, bl, coincidant ipsi ag, apud e, z puncta. Dico igitur quod tam be linea, quam bz linea est, quae ducenda proponitur. Nam cum per 2. 6. Euclidis, tam be ad ek, quam bz ad gl, sit sicut bd ad dm; et perinde sicut o ad r, iam et tam be ad mediam proportionalem inter be, ek; hoc est mediam inter ae, eg; quam bz ad mediam inter bz, zl; hoc est mediam inter az, zg, erit sicut o ad p mediam inter o, r. Itaque tam be, quam bz est, quae ducenda fuit.

Unde manifestum est, quod si data ratio fuit minima rationum, quas habent descendentes ab angulo b ad facta basis ag segmenta, tunc linea, quae ducenda proponitur una tantum erit; ipsa videlicet bd bisariam secans angulum abg. Si autem data ratio maior quam minima fuerit, tunc semper geminae duci poterunt. Lineae quales proponuntur; quae iam angulos hinc, et inde a linea bd, cum ipsa bd media, cumque lateribus trianguli suscipiunt aequales.

[S:176]

Item quoniam duximus ipsam be ab angulo b ad basim ag; atque sicut be ad mediam proportionalem inter be, ek; hoc est mediam inter ae, eg; sic o linea ad p lineam erit, et sicut quadratum lineae o ad quadratum lineae p, sic quadratum be ad quadratum dictae mediae hoc est ad rectangulum aeg. Verum per 17. 6. Euclidis, sicut linea o ad lineam r, sic quadratum lineae o ad quadratum lineae p. Igitur sicut linea o ad lineam r, sic quadratum be ad rectangulum aeg. Quamobrem si data sit ratio o ad r; et oporteat ducere ab angulo b lineam ad basim ag, ita ut quadratum ductae ad rectangulum contentum sub segmentis basis sit, sicut o ad r. Iam tunc linea, quam ducendam volumus, erit ipsa be, sive bz; sub tradito dudum praecepto comperta. Idemque de linea bd, si data ratio o ad r sit, sicut quadratum bd ad rectangulum adg; quae minima est rationum, quas habent quadrata descendentium ad rectangula factorum in basi segmentorum, hoc est ad quadrata mediarum proportionalium inter ipsa segmenta: quandoquidem cum minima sit ratio laterum inter rationes laterum, minima erit, et quadratorum ratio inter quadratorum rationes, unde tunc oportet datam rationem o ad r, non esse minorem ea, quam habet quadratum bd ad quadratum adg. Secus enim non esset possibile, quod proponitur faciendum.