VII. Linearum descendentium ab angulo cuiuslibet trianguli ad basim: quae angulum per aequalia dividit minimam habet rationem ad mediam proportionalem inter basium segmenta; quae vero aequales hinc, et inde suscipiunt angulos, eamdem fortiuntur quoque rationem ad medias proportionales inter facta basium segmenta.

Sit triangulum dbg rectilineum; et ab angulo b ad basim ag descendant plures lineae; ex quibus ipsa bd secet angulum abg per medium; ipsae autem be, bz suscipiant angulos abe, gbz hinc inde aequales; ipsa demum bh ipsis bd, be inter sit.

Dico iam quod bd ad mediam proportionalem inter segmenta ad, dg minorem habet rationem, quam bh ad mediam proportionalem inter ah, hg; et bh ad mediam proportionalem inter ah, hg minorem habet rationem, quam be ad mediam proportionalem inter ae, eg: item quod be ad mediam proportionalem inter ae, eg: item quod be ad mediam proportionalem inter ae, eg eamdem habet rationem, quam bz ad mediam proportionalem inter az, zg. Nam si trianguli abg latera ab, bg sint aequalia. Tunc quoniam bd perpendiculariter est ad basim; et perinde minima descendentium, et per 5. 2. elementorum Euclidis, rectangulum adg maximum est eorum, quae sub ipsius ag segmentis continentur; et perinde cum media proportionalis possit rectangulum, sub segmentis contentum; media proportionalis inter ad, dg segmenta maxima sit mediarum proportionalium inter segmenta sumptarum propterea iam bd ad tale mediam proportionalem minimam habebit rationem earum, quas habet descendentes ad medias proportionales factorum in basi segmentorum. Item cum lineae be, bz sint aequales, ipsae ae, zg aequales; et perinde rectangulum aeg, et rectangulum azg aequalia, et ob id mediae proportionales talium segmentorum aequales. Iam et ipsae be, bz eamdem habebunt rationem ad ipsas medias proportionales. Et eodem argumento bh ad mediam proportionalem inter ah, hg, minor erit proportio, quam be ad mediam proportionalem inter ae, eg. Quemadmodum proponitur demonstrandum.

Quod si trianguli abg latera ab, bg fuerint inaequalia; tunc per 5. 4. Euclidis, triangulo abg circulus circumscribatur abglk; et ipsae bd, bz, bh productae coincidant peripheriae apud t, k, l, n, puncta; coniuncta kl occurrat ipsi dt apud m; et ei aequidistans nx. Eruntque arcus ak, lg aequales; quandoquidem aequos suscipiunt angulos: et ideo ipsae ag, kl, nx aequidistantes, quare per 2. 6. Euclidis, bh ad hn, sicut bd ad dx, maior autem est ratio bd ad dx, quam bd ad dt. Ergo maior est ratio bh ad bn, quam bd ad dt, et propterea maior est ratio bh ad mediam proportionalem inter bh, bn; quam bd ad mediam proportionalem inter bd, dt: quandoquidem si maior est dupla, quam dupla; maior est et simpla, quam simpla. Verum media proportionalis inter bh, hn est et media proportionalis inter ah, hg; quoniam rectangulum contentum sub his aequale est rectangulo contento sub illis, per 34. 3. Euclidis: et similiter media proportionalis inter bd, dt est ipsa media proportionalis inter ad, dg. Igitur ratio bh maior est ad mediam proportionalem inter ah, hg; quam bd ad mediam proportionalem inter ad, dg. Item bd ad dm, hoc est be ad ek est maior proportio, quam bd ad dx; hoc est bh ad bn, et [S:175] ideo be ad mediam proportionalem inter be, eh; hoc est mediam proportionalem inter ae, eg maior erit proportio, quam bh ad mediam proportionalem inter bh, hn; hoc est mediam proportionalem inter ah, hg. Denique sicut be ad ek, sic bz ad zl: utraque enim est sicut bd ad dm. Igitur sicut be ad mediam proportionalem inter be, ek; hoc est mediam proportionalem inter ae, eg; sic iam bz ad mediam proportionalem inter bz, zl; hoc est mediam proportionalem inter az, zg. Quae fuerant demonstranda.

Et manifestum fuit quod quadratum bd minorem habet rationem ad rectangulum adg, quam quadratum hb ad rectangulum ahg. Quodque quadratum bh minorem habet rationem ad rectangulum ahg, quam quadratum be ad rectangulum aeg. Quodque ; quadratum be ad rectangulum aeg est, sicut quadratum bz ad rectangulum azg. Idemque dicendum si pro rectangulis segmentorum sumas quadrata mediarum proportionalium.