IV. Ellipses, quarum transversae rectis diametris sunt proportionales: sunt inter se similes. Contra similium ellipsium proportionales sunt transverse rectis diametris.

Sint duae ellipses abg, dez quarum transversae ag, dz sint rectis diametris ab, dt proportionales.

Aio quod similes sunt abg, dez ellipses. Capiantur enim ex axibus segmenta ak, dl diametris proportionalia, et ordinate ducantur bk, el; quae productae ipsis gh, zt coincidant apud m, n, quibus peractis, iam ut in praemissa constabunt rectangula akm, dln similia in ratione duplicata eius quam habet ak ad dl et quadrata bk, el in ratione duplicata eius, [S:173] quam habet bk ad el; cumque per 13.p. conicorum, quadratum bk aequum sit rectangulo akm: atque quadratum el aequum sit rectangulo dln, iam aequales erunt ipsae rationes duplicatae, quare et rationes ipsae aequales, hoc est, bk ad el. Igitur axium segmenta diametris proportionalia, proportionales sibi ordinatas suscipiunt; idque idem in quibuscunque proportionalibus axium segmentis eveniet. Itaque per diffinitionem similes sunt abg, dez. Quod fuit demonstrandum.

Nec difficilius ostendetur conversa per ellipsim, et aequam proportionem. Demum et hinc sequitur, ellipses, quarum transversae aequales, et rectae aequales esse et inter se similes et aequales. Tunc enim cum tetragonae superficies, quas possunt ordinatae sint aequales, erunt et ipsae ordinatae aequales unde per diffinitionem, sectiones tunc similes, et aequales esse. Et e contrario.

Quod si ellipsium coniugatae diametri proportionales extiterint non minus tunc ellipses inter se similes erunt. Nam coniugatae diametri sunt mediae proportionales inter rectas diametros; et perinde supposita coniugatarum proportione, sequitur omnino rectarum ad ipsas proportio.