VII. Eisdem suppositis; si circuli diameter ponatur maior quam recta hyperboles: tunc circulus sectionem in vertice tangens, extraque partim incedens, rursus hinc, et inde secando ipsi coincidet.

Iisdem manentibus. Ponatur be circuli diameter maior quam bd recta hyperboles. Aio tunc abe circulus tanget hyperbolen in puncto b; et inde extra incedens hinc, et rursus hyperbolae secando coincidet. Nam cum be maior sit, quam bd. [S:156]

Producatur bd, ponaturque ipsi be aequalis bz, et coniugatur gd; et producta coincidat ipsi ez coniunctae, apud h punctum per quod ordinate duvatur hta, coincidens axi apud t; atque hyperbolae apud a. Et iam ostendam quod circulus ipsomet a puncto secat hyperbolen. Namque per 12.1 Conicorum, in hyperbola ordinata at potest rectangulum bth, atque in circulo ordinate ducta a puncto t, potest rectangulum bte, quod est ipsum rectangulum bth: quandoquidem aequales sunt th, te. Igitur ordinate ducta in circulo est ipsa ta. Et perinde punctum a commune est utrique peripheriae, unde necesse est eas se invicem super a puncto secare. Arcus autem circuli bla incedit extra hyperbolen. Capiatur enim in peripheria paraboles punctum quodvis relictum inter a, b puncta quod sit k, per quod ordinate ducatur lkmnx, coincidens circulo, axi, ipsisque, gh, ez lineis apud l, m, n, x puncta. Et tunc per 12.1 Conicorum, km quidem poterit rectangulum bmn, et in circulo lm poterit rectangulum bme, quod est rectangulum bmx, maius ipso rectangulo bmn, itaque brevior erit km, quam lm. Et idcirco punctum l, quod in peripheria circuli iacet, extra hyperbolen est. Similiter omnia puncta in arcu circuli bla; atque adeo totus arcus bla cadit extra hyperbolen. Sub puncto autem a peripheria hyperboles cadit deinceps semper extra circulum; quod enim de puncto, idem de omnibus, et tota peripheria demonstrabitur, ut si per punctum o in peripheria hyperboles intra punctum a, ut cunque relictum, ducatur ordinate oprys, coincidens circulo, axi, ipsi ez, ipsique gh producta apud puncta p, r, y, s. Iam per 12. primi Conicorum, or linea poterit rectangulum brs. Verum in circulo p poterit rectangulum brt, quod est rectangulum bry, minus quidem ipso rectangulo brs, quare longior or, quam pr. Et ideo o punctum extra circulum. Haec eadem ostendemus in peripheriis ad reliquas partes axis. Sicut proponitur demonstrandum.