[S:152]

I. Duarum sectionum conicarum eiusdem nominis eumdem axim, eamdem diametrum, eumdem verticem habentium: illa, quae maiorem sortitur rectam diametrum, in ipso vertice tangit reliquam exterius incidens, et alibi non coincidens.

Ut si parabola ab, cuius recta bg, atque parabola db, cuius recta be, minor quam bg; ambae circa axem bz; verticemque b consistant.

Aio quod sectio ab ipsam db continget, apud punctum b tantum; et semper extra ipsam db ibit. Capiatur enim in axe ut cumque relictum z punctum; et ordinate ducatur zda, secans apud puncta peripherias, et tunc per 11.1. Conicorum* az poterit rectangulum gbz; nec non dz poterit rectangulum ebz, maius autem rectangulum gbz, quam rectangulum ebz, quandoquidem bg supponitur maior, quam be. Igitur az longior quam dz: et perinde punctum a cit extra peripheriam sectionis db. Similiter ostendam quod omnia puncta periphaeriae th, atque ideo tota ipsa ab peripheria cadit utrinque extra sectionem ab, in solo b puncto ipsam tangens, quod fuit demonstrandum. Item sit hyperbole ab, cuius transversa diameter bg; recta vero bd, et hyperbola eb, cuius transversa bg; recta bz brevior quam bd, ambae sub eodem vertice b; et super eundem axim gbh constitutae. Aio quod sectio ab tota extra sectionem eb cadit, ipsam in solo b puncto contingens. Capiatur enim in axe: ubivis relictum punctum b; per quod ordinate ad axim agatur linea hea, secans sectionum peripherias apud e, a; ipsisque gd, gz coniunctis, productisque, occurrens apud k, t puncta.

Et tunc per 12. primi Conicorum Elementorum, ab poterit rectangulum hbt; item eb poterit rectangulum hbk, maius autem rectangulum bht, quam rectangulum bhk quia db supponitur maior, quam bz. Igitur ah longior, quam he, et ideo punctum z extra sectionem eb. Similiter ostendam quod omnia puncta peripheriae ab; ipsaque peripheria tota cadet utrinque extra sectionem eb, in solo puncto b ipsam tangens. Quod fuit demonstrandum. Demum sit Ellipsis ab, cuius transversa bg; recta vero bd, et ellipsis eb, super eamdem diametrum bg, habens rectam bz breviorem ipsa bd. Aio iam quod sectio bag tota extra sectionem beg cadet; solumque ipsam in ipsis b, g verticibus tangent. Capiatur enim in axe bg punctum ubicunque b; per quod ordinate ducta, peripheriis apud a, t; ipsisque gd, gz, coniunctis apud t, k puncta coincidat. Et tunc per 13. primi Conicorum, ah poterit rectangulum bht. Item eh poterit rectangulum bhk. Unde, ut supra factum est, arguetur ah longior quam he. Et perinde peripheria bag, extra peripheriam beg; exceptis punctis b, g, in quibus sese contingunt. Quemadmodum proponitur demonstrandum.

[S:153]

Quod si ellipsis ab ellipsim eb, transversa tantum; vel non solum recta diametro, sed etiam transversa superaret, non minus sequeretur id, quod demonstratum est; fieretque contactus in solo vertice b. Item pro puncto z, sive b, quod in axe assumitur, posset assumi ad libitum punctum a, sive d, aut e in utravis peripheria, ad demonstrandum, quod altera peripheria extra alteram incedit.

Unde manifestum est, quod proposita parabola possunt circa eius axem verticemque, tam extras, quam intus infinitae parabolae describi, quae propositam, seseque invicem in ipso dumtaxat vertice contingant; atque idem de hyperbolis, ellipsibus, circulisque dicendam.