XXIV. Eisdem suppositis; atque positis angulis dgh, dgt aequalibus. Aio quod ellipses quarum diametri hg, gt similes erunt.

Nam propter aequalitatem tallum angulorum, et aequidistantiam linearum, et ipsi anguli nbl, nby aequales erunt, quare per 15. huius, linea bl ad mediam proportionalem inter ay, yg, tam longitudine, quam potentia proportionales erunt. Sed per 13. primi conicorum, eiusque corollarium, easdem quo ad potentiam habent rationem diametri gh, gt ad rectas quo ad longitudinem autem sic sicut gh, gt ad coniugatas. Igitur proportionales sunt diametri gh, gt suis rectis; proportionales item coniugatis, quare per 4. huius, vel eius corollarium, similes sunt gh, gt ellipses. Quod est propositum.

Scholium

Illud autem considerandum est, quod ellipses ipsae, quarum diametri gh, gt, non solum similes sunt, sicut iam ostensum est, sed et sub contrariae. Nam cum trianguli gbd anguli bgd, bdg sint invicem aequales: quandoquidem ipsis xba, gbn coalternis, per hyperbolen aequalibus, aequales sunt. Itemque ipsi anguli dgh, dgt aequales supponantur, atque ipse angulus bhg aequalis sit ipsis bdg, bgh sibi intrinsecis simul sumptis. Itemque ipse angulus bgt aequalis sit ipsis bgd, dgt, ex quibus constatur, pariter acceptis. Iam aequales erunt hbg, bgt, anguli; sed angulus gbt communis similia ergo sunt inter se triangula bhg, bgt, et sub contrarie posita, quare ellipses, quarum diameter gb, gt subcontrariae sunt.