XVIII. Lineae, quae a vertice trianguli cuiuslibet, descendentes basi utrinque productae coincidunt, et aequales angulos cum lateribus trianguli suscipiunt: aequales periphaerias de circulo circumscribente triangulum supra basim abscindunt; et eamdem rationem habent ad medias proportionales inter basi adiectas, et eas, quae ex adiectis, et base constant.
A trianguli abg vertice b, descendant lineae bd, be, coincidentes basi utrinque productae apud d, e; et suscipientes angulos gbd, abe aequales.
Dico quod periphaeriae circuli circumscribentis triangulum abg, quas assumunt lineae ab, be; et altera ex parte lineae gb, bd sunt aequales. Nam si latera ab, bg sint aequalia tunc manifestum est quod lineae bd, be secant periphaeriam circuli, et periphaeriae inclusae sunt aequales, per 25. 3, quandoquidem aequales angulos subrendunt. Si autem latera ab, bg sint inaequalia, tunc maius esto ab. Itaque be ducta ad partes maioris lateris, omnino periphaeriam circuli secabit. Secet apud z; et aequidistans ipsi ag ducatur zh; quae omnino secabit periphaeriam bg, secet apud h; et coniuncta bh, producatur ad occursum usque basis, apud t. Eruntque periphaeriae az, gh aequales: quoniam iisdem aequidistantibus intercluduntur, quare per 26. 3. Euclidis, angulus gbt aequalis angulo abe. Sed angulus abe supponitur aequalis angulo gbd. Ergo angulus bd aequalis [S:184] angulo gbt. Quod est absurdum, si linea bd non secet periphaeriam bg. Secabit igitur omnino. Eritque; ipsamet linea bt; et assumptae periphaeriae az, gh, per 25. 3, aequales erunt. Vel sic astructive. Ponatur latus ab maius latere bg: manifestum quod be secat periphaeriam, ut pote in puncto z. Ponatur et angulo abe aequalis angulus gbt. Dico quod bt omnino secabit periphaeriam bg. Ducatur enim bd tangens circulum apud b. Eritque per 29. 3, angulus gbd aequalis angulo bag. Angulus autem bag maior angulo abe, extrinsecus scilicet intrinseco. Ergo et angulus gbd maior angulo gbt. Quamobrem bt media interiacet ipsis gb, bd. Sed bd tangit ergo bt secat circulum; secet apud h. Unde, et rursus 25. 3, az, gh periphaeriae sunt invicem aequales. Dico item quod sicut est be ad mediam proportionalem inter gt, ta. Coniungatur enim zh, quae iam aequidistabit ipsi ag, quoniam interceptae periphaeriae az, gh sunt aequales. Et ideo per 2. 6. Euclidis, sicut be ad ez, sic iam bt ad th, quare sicut be ad mediam proportionalem inter be, ez; hoc est mediam inter ae, eg; sic bt ad mediam proportionalem inter bt, th; hoc est mediam inter gt, ta. Quod iam supererat demonstrandum.
Et manifestum quod sicut quadratum be ad quadratum media proportionalis inter ae, eg; hoc est rectangulum ae, eg; sic est quadratum bt ad quadratum mediae proportionalis inter gt, ta; hoc est rectangulum gt, ta. Nam linearum proportionalium quadrata sunt proportionalia: quandoquidem si ratio simpla simplae est aequalis, et dupla duplae iam aequalis erit.
Scholium
Septem praecedentia Theoremata quasi lemmata praemissa sunt ad distinguendas deinceps ellipsium varietates a planis varie secantibus conum, sive rectum, sive scalenum factarum. Itaque sicut pro hyperbola fecimus, ita et hic pro ellipsi in quolibet cono triangulum per axem ad rectos basi ducemus, mox plana triangulo recta ellipses facientia inferemus. Nam ex descendentium a vertice ad basim trianguli extra productam, quibus ellipticae diametri aequidistant, ratione ad medias proportionales inter adiectas basi, et eas, quae ex basi, et adiectis constant, determinabimus rationem ellipticarum diametrorum tam ad rectas, quam ad transversas diametros, ut inde constet ellipsium collatio, sive quoad similitudinem, sive quoad dissimilitudinem.