XV. Eisdem subiectis; si ponantur lineae bl, by, quae secent periphaeriam supra punctum b; aequosque angulos suscipiant cum linea bn. Demonstrandum est, quod bl ad mediam proportionalem inter al, lg cum habet rationem, quam et by ad media proportionale inter ay, yg.

Namque si anguli bln, nby sunt aequales, erunt et contrapositi kbx, xbt aequales, et arcus kx, xs aequales, quare chorda sk ad rectos erit diametro xp, et ideo aequidistabit ipsis xr, ag. Ea itaque producta donec occurrat ipsi br, apud t, erit ex similitudine triangulorum, tam bl ad lk, quam by ad ys, sicut bg ad gt. Et ideo sicut by ad ys, sic bl ad lk, et propterea sicut bl ad mediam proportionalem inter bl, bh, hoc est, mediam inter al, lg; sic by ad mediam proportionalem inter by, ys, hoc est, mediam inter ay, yg. Quod fuit demonstrandum.

[S:181]

Scholium

Notandum quod lineae bl, by, servantes eamdem ad medias proportionales dicto modo sumptas, semper secant periphaerias supra punctum b. Nam si bl secaret arcum bg, non esset possibile ipsos aequos angulos suscipere cum linea bn; neque dictam proportionem servaret, quod enim proportionem non servant patet, quoniam by minor est media proportionali inter by, ys; hoc est, inter ay, yg, at bl secans arcum bg, maior est media proportionali inter ipsam bl, suique partem extrinsecam, hoc est, inter al, lg, quod autem bl arcum bg secans non potest suscipere angulum lbn aequalem angulo nby, patet sic. Agatur per b punctum linea tangens circulum, ubi, coincidens ipsi gn, apud i. Eritque per 29. 3. Euclidis, angulus ubx, et eius contrapositus ibn aequalis angulo xpb. Angulus autem xpb aequalis angulo xno (quandoquidem triangula xpb, xno angulum x communem habentia, et angulos apud o, b puncta rectos, habent et tertium tertio aequalem. ) igitur angulus xno, hoc est, bni aequalis angulo ibn. Ponatur igitur angulus nba ipsi angulo ibn; et perinde ipsi bni angulo aequalis. Eritque per 27. 1 Euclidis, ba parallelus ipsi ag. Quamobrem omnis linea ducta a puncto b, et coincidens ipsi ag productae suscipiet cum ipsa bn angulum minorem angulo nbx, hoc est, angulo ibn, quem continet ib tangens circulum cum linea bn, a fortiori minorem angulo, quem linea secans arcum gb continet cum eadem linea bn, quare bl, secans arcum bg, et ipsa by minime possunt angulos aequales suscipere cum linea bn. Quod est propositum. Et haec hactenus ad meliorem intellectum sequentis problematis.

Corollarium

Constitit itaque quod linearum descendentium a vertice trianguli ad partes cruris reliquo minoris basique extra productae coincidentium illa, quae circuli circumscribentis triangulum periphaeriam supra verticem secat, minor est media proportionalis inter lineam basi adiectam; et eam, quae ex adiecta, et basi constat. Illa vero, quae tangit circulum aequalis est mediae proportionali ut dictum est sumptae. Illa demum, quae inferiorem periphaeriam secat maior est media proportionali, eo modo accepta. Contra vero linearum huiusmodi descendentium, illa, quae minor est media proportionali dicto modo sumpta, secat periphaeriam circuli superiorem: quae vero aequalis est mediae proportionali sic sumpta, tangit circulum, quae tandem media proportionali maior ut praedictam est accepta; secat periphaeriam inferiorem. Idemque omnino dicendum collatis linearum quadratis, nam linea longitudine maior, est utique et potentia maior. Quod si pro quadrato mediae proportionalis sumatur rectangulum sub his, quibus interiacet, lineis contentum, id idem sequetur: quandoquidem per 16. 6. Euclidis, tale rectangulum aequale est eiusmodi quadrato. Nunc ad Problema veniamus.