XX. Suppositis iisdem; utque prius facta eamdem ellipsis, et hyperboles recta: demonstrandum est quod talis ellipsis est maxima inter ellipses circa eamdem transversam descriptas; et intus hyperbolen apud verticem tangentium. Contraque quod talis hyperbole minimam rectam habet inter hyperbolas, quae circa ipsam, eamdem transversam habentes, extrinsecus tangunt talem ellipsim.

[S:164] Iisdem manentibus, factaque ut in ante praemissa bd recta diametros. Tam hyperboles ab, quam ellipsis bz.

Aio iam quod ellipsis bze habet maximam rectam inter ellipses descriptas circa be transversam; et intus tangentium hyperbolen ab apud b verticem. Contra quod hyperboles ab habet minimam rectam inter hyperbolas, quae sortitae ipsam bg transversam, tangunt extrinsecus ellipsim bze, apud dictum b verticem. Nam cum per antepraemissam, ellipsis bze tangens iam hyperbolen ab, apud b, tota intra hyperbolam ab cadat; atque per primam huius infinitae ellipses ipsam bze ellipsim; et perinde ipsam ab hyperbolen intus apud b tangant, ac demum per praecedentem, omnis ellipsis circa be diametrum descripta, habens rectam maiorem recta hyperboles ab, quae est bd, extra tangens hyperbolen secat eam. Iam ex his sequitur ellipsim bze maximam habere rectam inter ellipses circa be transversam descriptas, et intus apud b hyperbolen ab tangentes. Quod est primum. Rursus quoniam per antepraemissam, hyperbola ab extrinsecus tangit ellipsim bze; atque per primam huius, eiusque corollarium, infinitae hyperbolae habentes bg transversam, ac rectam maiorem ipsa bd tangunt extra ipsam hyperbolen ab, et perinde ellipsim bze, apud b, ac denique, per praemissam, omnis hyperbole super transversam bg, habens rectam minorem ipsa bd recta ellipsis, cadit intra ellipsim, propterea ex his sequitur hyperbolen ab habere minimam rectam inter hyperbolas super bg transversam descriptas, et extrinsecus tangentes ellipsum bze, apud b verticem. Quod supererat demonstrandum.

SCHOLIUM.

Notandum tamen quod omnis ellipsis circa axem maiorem quam be, rectamque ipsammet bd descriptae, peripheria inter peripherias ellipsis bze, et hyperboles ab tota cadit. Namque per scholium primae huius, extra ellipsim bze, et per 18. huius, intra hyperbolen ab feretur. Item omnis hyperbole habens transversam maiorem ipsa, bg, rectamque ipsam bd cadet intra ipsas easdem ellipsis bze, et hyperboles ab peripherias. Nam intra hyperbolen ab fertur, per 2. huius: extra vero ellipsim bze, per 18. memoratam. Bene igitur habet speculatio circa hyperboles, et ellipsis mutuam contactum. Superest nunc paraboles cum hyperbola collatio.