XIX. Suppositis iisdem. Si ellipsis recta diametros ponatur maior quam recta hyperboles: tunc ellipsis hyperbolen apud verticem tangens, extraque progrediens, ipsam utrinque secat.

Iisdem manentibus. Ponatur bz recta ellipsis maior quam bd recta diametros hyperboles. Aio tunc quod ellipsis be tanget quidem ut prius hyperbolen apud b: verum excedens utrinque revertetur secando hyperbolen.

Nam tunc, sicut in 7, ipsa gd producta coincidet inferius ipsi ez, coincidat apud h punctum per quod ordinate agatur hta, coincidens hyperbolae apud a punctum. Et ostendam quod in ipsomet a puncto ellipsis secat hyperbolen. Namque in hyperbola, per 12.1 Conicorum, at potest rectangulum bth, quod et ipsum potest ordinate ducta in ellipsi a puncto t,per 13. eiusdem, quare talis ordinate ducta in ellipsi, erit ipsamet at, et perinde punctum a erit in peripheria utriusque sectionis. Unde necesse est eas se invicem in a puncto secare. Supra enim punctum a ordinate ducta lkmnx, non aliter quam in 7. huius ostendetur brevior km, quam lm. Et perinde arcus ellipsis bla extra hyperbolen. Sub puncto autem a ordinate ducta oprys, sicut in 7, ostendetur or longior, quam pr. Et perinde sub eodem puncto deinceps elliptica peripheria cadet intra hyperbolen. Quemadmodum proponitur demonstrandum.