VIII.

Eisdem suppositis, utque prius positis circuli diametro, et recta hyperboles aequalibus, demonstrandum est quod talis circulus est maximus circulorum intus hyperbolen, apud verticem tangentium. Atque vicissim quod talis hyperbole est minima¹²⁰, minimam rectam diametrum habens, tangentium circulum apud verticem hyperbolarum sub eadem transversa.

Iisdem subiectis, positis ut in sexta praemissa¹²¹ be circuli diametro, atque bd recta hyperboles aequalibus.

Aio quod circulus bze¹²² est maximus circulorum intrinsecus¹²³ hyperbolem¹²⁴ apud b verticem tangentium, quodque ab hyperbole¹²⁵ est minima hyperbolarum tangentium extra circulum apud eumdem verticem. Nam, cum per antepraemissam circulus be totus intra sectionem tangat eam apud b, atque per primam huius, eiusque corollarium infiniti circuli super lineam be tangant intus¹²⁶ be circulum, et perinde ipsam ab hyperbolen, ac demum per praecedentem, posito¹²⁷ circuli diametro maiore quam bd, circulus ipse excedet¹²⁸ hyperbolen, idcirco sequitur circulum be maximum esse circulorum intus tangentium hyperbolen ab, quod est primum ex propositis. Rursum, quoniam, per antepraemissam¹²⁹, hyperbola ab circulum eb extra tangens apud b, tota extra circulum incedit, cumque, per primam huius eiusque corollarium atque etiam per 2. huius, infinitae hyperbolae extra tangant ipsam hy[S:157]perbolam¹³⁰ ab, et perinde ipsum circulum be, itemque, per praecedentem, si ponatur hyperbolae recta diameter bd minor diametro circuli be, iam tunc hyperbola cadet¹³¹ intra circulum, propterea ex his sequitur hyperbolen ab minimam¹³² esse, hoc est infimam, sive minimam rectam diametrum sortiri inter [C:5v] hyperbolas, sub eadem transversa extrinsecus tangentes¹³³ circulum be. Quod fuit demonstrandum.

SCHOLIUM.

Notandum in praesenti theoremate quod hyperbole ab inter hyperbolas extrinsecus tangentes circulum be, et habentes transversam diametrum bg, est illa, quae minimam rectam diametrum¹³⁴ habet, ipsam scilicet bd¹³⁵. Nam omnis¹³⁶ hyperbole habens transversam bg, et rectam diametrum minorem¹³⁷ < quam¹³⁸ > bd, cadit per aliquem arcum intra circulum, quemadmodum 2. pars propositionis sonat. Et inde fuit demonstratum, quod si sumatur super eundem axim¹³⁹, hyperbole habens transversam diametrum maiorem quam bg, atque rectam diametrum ipsam bd, tunc ex huius 8. demonstratione, talis hyperbole tanget circulum apud b et extra ipsum cadet. Per 3.¹⁴⁰ autem huius, intra ab hyperbolen cadet intrinsecus ipsam in dicto puncto tangens, unde quamvis inter peripherias hyperboles ab, circulique be (ut per 1. huius 8. partem constat) circulum alium, cadere sit impossibile, itemque inter easdem peripherias nulla hyperbola cadere possit, habens transversam bg (ut 2. pars huius 8. concludit) nulla item hyperbola¹⁴¹ habens rectam minorem bd (ut in 7. praecedenti fuit ostensum¹⁴²) nulla demum hyperbole habens rectam bd, vel maiorem, ac transversam minorem quam bg (ut 2. huius ratiocinatur). Tamen inter easdem peripherias hyperboles ab, circulique be intercidere possunt infinitae hyperbolae, habentes scilicet transversam maiorem bg, atque rectam diametrum bd. Itaque satis discussa est speculatio circa hyperboles, atque circuli sese in vertice tangentium collationem. Transeundum¹⁴³ nunc (ut ordo postulat)¹⁴⁴ ad ellipsis, et circuli contactum.