IV.56
Eisdem sup57positis, si circuli diameter ponatur maior quam recta paraboles, tunc circulus sectionem in vertice tangens partimque extra ipsam, partim intra cadens, in duobus eam locis secabit.
Iisdem manentibus, ponatur bd diameter maior, quam bg recta paraboles. Aio tunc quod58 bad circulus tanget parabolam in puncto b et inde utrinque extra flexo ambitu, hinc et inde secabit parabolen. Nam, cum bd maior sit quam bg, producatur bg ponaturque ipsi bd aequalis be et coniuncta de, sit ipsi bg aequalis dz et per punctum z ordinate ducatur ad peripheriam paraboles azh, occurrens ipsi de, apud h. Dico itaque quod circulus in ipso puncto a secat parabolen59. Cum enim triangulum ebd sit isosceles, erit et triangulum dzh isosceles, hoc est hz60 latus aequale lateri zd. Fuit autem zd aequalis ipsi bg. Ergo et bg aequalis zh, et perinde rectangulum gbz aequale rectangulo bzh. Per61 11. autem 1. Conicorum, ordinate ducta in parabola ad62 punctum z, hoc est ipsa az potest rectangulum gbz, et ordinate ducta in circulo ad63 punctum z, potest rectangulum bzd, quod est ipsum rectangulum bzh64. Igitur talis ordinate ducta aequalis est ipsi za. Et ideo punctum a est in peripheria circuli. Quare circulus et parabola se invicem secant in puncto a.
Arcus vero circuli bma flectitur extra parabolam quod sic ostendam. Capiatur in parabola punctum quodlibet inter a, b puncta, quod sit l65; per quod ordi[C:3v]nate ducatur mltk, coincidens circulo apud m, diametro apud t, ipsique de apud k. Et quoniam tk longior quam zh, ideo longior erit, et66 quam bg. Quare rectangulum btk67 maius quam68 gbt. Sed per 11. 1. Conicorum, lt potest rectangulum gbt69. Et in circulo m70t potest rectangulum btk. Igitur lt brevior erit quam mt. Et ideo punctum m71, in peripheria circuli, est extra72 parabolen. Et73 similiter ostendam quod omnia puncta peripheriae circularis bma, atque totus omnino arcus bma, cadit74 extra75 sectionem bla. Sub puncto autem a peripheria paraboles76 cadit extra circulum. Capiatur enim in peripheria paraboles77 quodvis punctum n, per quod ordinate ducatur nxop, circulo, axi, et lineae de occurrens apud x, o, p puncta. Et quoniam op brevior quam zh, et ideo78 quam bg. Ideo maius erit rectangulum gbo, quam rectangulum bop. Sed per 11. 1. Conicorum, no potest rectangulum gbo et, in circulo, xo potest rectangulum bod, quod est rectangulum bop79. Longior ergo no quam xo. Et ideo punctum n in parabola existens, extra circulum est80. Et similiter ostendam quod sub puncto a deinceps, omnia puncta in peripheria parabolae, et tota penitus peripheria, fertur extra circulum. Hoc idem ostendemus ex altera parte axis. Et hoc est quod proponebatur demonstrandum.