XVII.

Iisdem suppositis, utque prius posita eadem recta deametro²³⁴ ellipsis et paraboles, demonstrandum est quod talis ellipsis est maxima ellipsium circa eumdem axem descriptarum, et intrinsecus parabolam talem tangentium. Et vicissim quod parabola talis est minima parabolarum extrinsecus ellipsim talem tangentium.

Iisdem subiectis, ponatur ut in antepraemissa ellipsis eb, habens rectam bg, quae et paraboles recta est.

Aio iam quod eb ellipsis est maxima inter ellipses circa bd axim²³⁵ descriptas, et intus tangentes parabolam²³⁶ ab. Contra autem quod parabola ab minima est²³⁷ inter parabolas extrinsecus tangentes ellipsim be²³⁸. Nam cum per 15. huius, ellipsis eb tota intus existens, tangat parabolen ab, atque per primam huius eiusque corollarium, infinitae ellipses circa axem bd positae tangant ellipsim be²³⁹ et perinde parabolam ba²⁴⁰, atque demum per praecedentem, cum quaevis ellipsis circa bd diametrum descripta, et habens maiorem rectam quam bg secet ipsam parabolen, iam ex his illud sequitur, ut ellipsis eb²⁴¹ sit maxima inter ellipses circa bd diametrum descriptas, et intus tangentes parabolen²⁴² ab, hoc est maximam inter eas rectam diametrum habet. Rursus autem quoniam per 15. huius, parabola ab vicissim extrinsecus cadens, tangit eb ellipsim, et per primam huius eiusque corollarium [C:10r] infinitae parabolae ipsam eb ellipsim extrinsecus tangunt, tangentes videlicet parabolam ab, et per praecedentem, quaevis parabole habens rectam diametrum minorem recta ellipsis, secat ipsam ellipsim, idcirco sequitur ut parabola ab sit minima inter parabolas extra ellipsim eb tangentes, hoc est minimam inter eas rectam diametrum habet. Et hoc est quod proponebatur demonstrandum.

SCHOLIUM I.²⁴³

NOtandum, est²⁴⁴ hic quod cum prima pars praesentis 17.²⁴⁵ intelligatur de ellipsibus circa axem bd²⁴⁶ positis. Iam si capiatur ellipsis habens axim maiorem quam bd, ipsamque rectam diametrum bg, tunc talis ellipsis per praesentem 17. vel per 15. intra quidem parabolam ab, per primam autem huius, eiusque scholium, extra ellipsim eb cadet. Unde quamvis inter parabolam ab et ellipsim be²⁴⁷, neque ellipsis ulla circa axem²⁴⁸ bd posita, neque ulla parabole²⁴⁹ intercidat, ut ex demonstratione praesentis patet²⁵⁰. Tamen inter easdem infinitae ellipses habentes axem²⁵¹ maiorem quam bd, et rectam ipsam bg intercidere possunt. Sicut scholium inferebat.

SCHOLIUM II.²⁵²

Praeterea sciendum quod iisdem suppositis, posita videlicet²⁵³ recta ellipsis, sive circuli, ut in 15. et 3. huius, et recta paraboles una, et eadem, tunc in parabola linea, quae ordinate ducitur ad extremum diametri, transversae ellipsis, sive circuli, hoc est ipsa rd, aequalis est 2. diametro ellipsis, vel circuli. Namque rd, per 11. p. Conicorum, potest rectangulum dbg. Et per 13. eiusdem, secunda diameter ellipsis, vel circuli potest idem rectangulum dbg speciem²⁵⁴ videlicet, quae²⁵⁵ adiacet ad primam [S:163] diametrum, quare iam²⁵⁶ dicta linea rd et secunda diametros sunt aequales.