XI.

Eisdem suppositis, si ut prius circuli diameter ellipticae rectae¹⁶⁸ ponatur aequalis, demostrandum¹⁶⁹ est quod talis circulus¹⁷⁰ est maximus circulorum talem ellipsim intrinsecus tangentium. Et, vice versa, talis ellipsis est minima ellipsium super illum axim¹⁷¹ descriptarum, et extrinsecus circulum tangentium, hoc est inter habentes illum axim¹⁷² est illa, quae minimam rectam diametrum sortitur.

Iisdem subiectis, ponatur ut in antepraemissa circuli diameter be aequalis ipsi bd, ellipsis rectae. Aio quod circulus bze est maximus circulorum ellipsim ab intrinsecus tangentium. Et vicissim quod ellipsis ab est minima ellipsium super bg axem descriptarum, et extrinsecus¹⁷³ circulum bze tangentium, hoc est minimam rectam inter eas habet.

Nam, cum per 9. huius, circulus bze totus intra sectionem cadat, tangens eam apud b, atque per 1. huius eiusque corollarium, infiniti circuli tangant intus ipsum bze circulum, et¹⁷⁴ perinde ipsam ab ellipsim, atque demum, per praecedentem, posita circuli diametro maiore quam bd recta, circulus [C:7r] ipse tunc excedat¹⁷⁵ sectionem, idcirco sequitur circulum bze maximum esse circulorum ellipsim intrinsecus tangentium. Rursus quoniam per 9. praecedentem, ellipsis ab extra circulum cadens, ipsum apud b tangit atque per 1. huius eiusque corollarium, infinitae ellipses circa axim bg extrinsecus tangunt ipsum bze circulum apud b, nec non¹⁷⁶ per praecedentem, posita ellipsis recta bd minore quam be circuli diametro, iam tunc ellipsis fertur partim [S:159] intra circulum. Propterea ex his sequitur ellipsim ab minimam esse ellipsium super axe bg positarum, et extrinsecus¹⁷⁷ circulum bze¹⁷⁸ tangentium, hoc est minimam inter eas rectam diametrum sortiri. Quod supererat demonstrandum.

SCHOLIUM¹⁷⁹.

Notandum quod 2. pars praesentis 11. propositionis, loquitur de ellipsibus super axim bg descriptis, quod si capiatur ellipsis habens axem¹⁸⁰ maiorem quam be, minorem vero quam bg, et rectam diametrum ipsam bd, aequalem scilicet diametro circuli be¹⁸¹, tunc talis ellipsis ex huius 11. demonstratione circulum bze tangens apud b, extra ipsum cadet. Per primam autem huius eiusque scholium, intra ab ellipsim incedet. Unde quamvis inter ellipsim ab, circulumque¹⁸² bze, per primam partem huius 11.¹⁸³ circulus alius non cadat, nec ulla ellipsis habens axim bg, ut per 2. partem eiusdem constitit¹⁸⁴, itemque nulla habens¹⁸⁵ axim¹⁸⁶ maiorem quam bg (ut per 10 praemissam patet si rectam habeat) minorem quam be¹⁸⁷, per scholium vero primi¹⁸⁸ si maiorem. Tamen inter dictas ellipsis ab, circulique bze peripherias possunt intercidere¹⁸⁹ infinitae ellipses, quarum omnium recta diametros sit ipsa bd, axes vero a puncto b incepti terminentur inter e, g puncta. sicut praesens scholium inferebat.