tc

F r a n c i s c i M a u r o l i c i O p e r a M a t h e m a t i c a

Emendatio et restitutio Apollonii Pergaei conicorum elementorum

Liber secundus

Propositio 2

// PROPOSITIONES, QUARUM QUAEDAM SUNT problemata, quaedam theo- remata.

1^a Si hyperbolen ad summitatem linea tangat: et ex ipsa in utramque¹ diametri relicta sit aequalis potenti quadrantem speciei, et a centro sectionis ad relictos terminos tangentis ducantur lineae, productae nequaquam coincident sectioni.

Sit hyperbole, cuius diameter ab. // Centrum g. // Recta bz. // Tangens de. // Punctum tactus b. // Et tam db quam be possit quartam partem speciei, quae scilicet sub ab bz². // Et coniungantur dg ge et producantur versus sectionem quantumlibet.

// Dico³ gd ge nusquam coincident [A:39r]sectioni.

// Coincidat⁴ enim, si possibile est, ut gd apud h. // Et ordinate applicaretur ht quae, per additam post 32^am praecedentis libelli, aequidistabit ipsi de tangenti. // Et quoniam per primam 6ⁱ Euclidis ab

bz sic

abz et

abz sicut quadrato

bd quandoquidem tam quadrato

gb ipsius

ab quam

db ipsius

abz quadrans est.

Ideo et⁵ quadrato gb bd sicut abbz.

Sed, propter triangolo gbd gth⁶ similitudinem quadrato gb bd sicut⁷ gt th.

Et⁸ per 12^am praecedentis libri, sicut abbz sic rettangolo atb quadrato th.

Igitur

quadrato gt angolare chiusa

rettangolo atb

^tum th eadem ratio
.

Quare per 9^am quinti Euclidis, rettangolo atb aequale est quadrato gt.

Et ideo per 16^am sexti bttgta sunt in proportione continua.

Eritque ta totum gt totum, sicut gt abscisum tb abscisum⁹.

Unde, per 19^am 5ⁱ Euclidis ag reliquum¹⁰ bg reliquum sicut ta totum gt totum. Maius autem¹¹ ta quam gt. Ergo et ag maior, quam gb. Sed supponuntur aequalia: quod est absurdum. Non igitur gd et simili ratione ge coincidet sectioni. Quod erat demonstrandum.

Idem et aliter ostendam. // Coincidat enim, si possibile est, gd producta sectioni apud h. // Et quoniam bg non minor est dimidio ipsius ab. Ideo, per 29^am primi Conicorum gh producta intra sectionem cadet. // Cadat, sitque ghl periferia vero sectionis sit ghk¹². // Et applicetur ordinate klt quae, per additam post 32^am praemissi libri, erit penes de quandoquidem ordinata est et¹³ de.

// Et, quoniam, per primam 6ⁱ Euclidis sicut ab bz sic quadrato ab rettangolo abz. Et ab abz sicut bg db [A:39v]quandoquidem, tam bg ^ti ab quam db ipsius ^li abz quadrans est.

Ideo

bd sicut ab

bz.

// Sed propter triangolo gbd gtl similitudinem, sicut quadrato gb bd sic gt tl.

Ergo et¹⁴ quadrato gt tl sicut ab bz.

Sit¹⁵ autem, sicut at tg sic ag gm. Cumque sit at maior quam tg erit et ag maior, quam gm.

Et, per 19^am quinti erit, sicut totum at¹⁶ totum tg sic reliquum gt reliquum tm. // Hoc est at tg tm erunt continuae proportionales.

// Quare per 16^am sexti Euclidis rettangolo atm aequalis¹⁷ erit quadrato tg. Et ideo gt maius¹⁸ ^lo atb. Et per 8^am 5ⁱ Euclidis gt tk maius¹⁹, quam atb tk.

// Sed per 12^am primi Conicorum rettangolo atb quadrato tk sicut ab bz. Ergo gt tk maius²⁰, quam ab bz.

// Fuit autem ab bz sicut quadrato gt tl. Igitur gt tk maius²¹ quam gt tl²².

// Quare, per 10^am quinti Euclidis quadrato tl maius tk. Et ideo tl maior quam tk pars toto, quod est absurdum.

// Non igitur gd et similibus argumentis, neque ge coincidet sectioni: quod erat demonstrandum.

Vocentur autem ipsae gd ge non tangentes²³, sive non coincidentes: quippe quae etiam si in infinitum producantur, numquam sectioni, coincidunt.

Per summitatem hyperboles penes alteram non tangentium acta linea non alibi, quam in summitate ipsa coincidit sectioni, productaque sub eo puncto semper intra sectionem cadit²⁴.

Iis stantibus, quae in praemissa sunt adducta: ducatur penes ipsam bg non tangentem linea bk.

// Dico iam quod bk non alibi quam in puncto b summitatis sectioni coincidet²⁵, inferiusque producta semper intra sectionem deducitur. // Coincidat enim, si possibile est bk sectioni apud k. Et ordinate ducatur kt iam ipsi dbe tangenti, per additam 32^ae praemissi, equidistans²⁶.

Sitque ipsius be dupla bl.

// Igitur coniuncta az producatur: sitque azn ipsique bz²⁷ [A:40r]aequidistans tn.

Quibus per actis, cum be possit quadrantem speciei sub ipsis ab bz contentae; iam bl²⁸ poterit ipsam speciem totam.

// Quare, per 16^am sexti Euclidis ipsae ab bl bz sunt continuae proportionales.

// Et ideo per 17^am 6ⁱ, sicut ab bz sic quadrato ab bl²⁹ et sicut³⁰ gb be propter triangolo abl gbe similitudinem³¹. // Sed sicut ab bz sic at tn propter abz atn similitudinem. // Ergo sicut at tn sic gb be et sicut³² gb bd (cum db be sint aequales) et sicut³³ bt tk (cum gbd btk sint similia).

// Verum, cum per 12^am primi Conicorum kt possit rettangolo btn et ob id, bttktn sint continuae proportionales, atque ideo quadrato bt tk sit sicut bt tn, erit iam, sicut bt tn sic at tn.

// Quare, per 9^am 5ⁱ Euclidis ipsae bt ta sunt aequales: quod est absurdum.

// Igitur ipsi gd non tangenti parallelus acta per b summitatem sub signo b deducta semper intra sectionem cadit. Quod erat demonstrandum.

Inizio della pagina