50^a Si hyperbolen, vel ellipsin, vel circuli periferiam linea tangens coincidat diametro: et per tactum et centrum linea producatur: et a summitate ducta linea ordinate applicata coincidat ductae lineae per tactum et centrum: et factum sit,¹ ut portio tangentis inter applicatam et tactum ad portionem ductae per centrum et tactum, quae inter tactum et applicatam; sic² assumpta quaedam linea ad duplam tangentis; quae a sectione ducitur ad ductam per centrum et tactum, aequidistans tangenti, poterit id, quod quaedam superficies rectangula adiacens ad lineam assumptam et latitudinem habens receptam sub ipsa usque ad tactum, in hyperbole quidem excedens specie simili contento sub dupla eius, quae inter centrum et tactum et sub assumpta³ linea, in ellipsi autem et circulo deficiens.

Sit hyperbole, vel ellipsis, vel circulus, cuius diameter ab. // Centrum g. // Tangens de. // Et ge producatur utroversum, ut ipsi⁴ eg⁵ aequalis sit gc⁶. // Ordinate ducta bzh coincidens⁷ ipsi⁸ quidem de ad signum z ipsique ge apud h. // Sitque sicut ze eh sic et duplam ipsius ed. // Ponaturque et ad rectos⁹ ipsi eg. // Et tc coniuncta producatur. // Et per relictum quoddam¹⁰ punctum in sectione, ut l agatur penes ed tangentem linea lmx coincidens ipsi ge productae apud m et diametro ab apud x. // Item penes ipsam bh ducatur lrn coincidens ipsi¹¹ ge productae apud r ipsique diametro ab apud n. //

// Demum penes ipsam et ducatur mp coincidens ipsi at¹² productae apud p.

// Dico iam quod lm aequale est emp quod, quidem emp¹³ adiacet ad lineam assumptam et¹⁴ sub latitudine em recepta ab lm ad tactum et in hyperbola excedit ipsam et¹⁵ specie simili ^lo cet. In ellipsi vero et circulo deficit.

// Hoc est, quod transversa diametro existente ce recta erit et.

// Agatur enim penes ipsam cp recta gso. // Et quoniam eg aequalis est ipsi gc

// Et quoniam ze eh sicut lm mr propter zeh lmr similitudinem: ideo [S:43] lm mr sicut¹⁷ es¹⁸ ed.

// Et, quoniam, per 43^am huius, in hyperbola rng aequale gbh lnx et ideo gde lnx cum per additam post 42^am gbh gde sint aequalia. // In ellipsi vero et circulo, quoniam gbh sive gde aequale est rng lnx. [A:32r] // Ideo, communibus ablatis, in hyperbola¹⁹ quidem egd cum rmxn. // In ellipsi autem et circulo mxg supererit lmr aequum medx.

// Sed anguli ad m contrapositiaequales²⁰: ergo lmr aequum ^mo21 facto ex em

in aggregatum ipsarum ed mx .

// Quandoquidem illud duplum²² lmr hoc autem duplum est ^mi medx²³.

// Et quoniam mg ge sicut²⁴ mx ed itemque²⁵ sicut mo es. // Ideo sicut mo es sic²⁶ est mx ed propter linearum aequedistantiam et similitudinem.

// Et coniunctim mo es es sicut mx ed ed.

// Et permutatim mo es mx ed sicut²⁷ es ed.

// Sed, per primam 6ⁱ Euclidis mo es mx ed sicut²⁸

mo es mx ed em em

fuitque es ed sicut ze eh et sicut lm mr et per primam 6ⁱ sicut lm lmr.

// Igitur lm lmr sicut mo es mx ed em em .

1 //

// 2 Ergo

et lm aequum erit mo es em .

// Sed mo es em aequale est emp. Namque29 emp

Igitur³¹ emp aequale est lm.

Quod fuit demonstrandum.

Similiter ostendemus, quod omnis³² a puncto quovis sectionis penes de tangentem ducta ad cgm³³ diametrum linea poterit contentum sub et linea et sub recepta ex diametro cge ad tactum, in hyperbola quidem excedens specie simili contento sub [A:32v]ipsis ce et in ellipsi autem et circulo deficiens. Atque ideo, cum sit ce transversa diameter, erit et recta diametros³⁴, ad quam videlicet possunt ordinate ductae ad transversam in hyperbola, ellipsi et circulo.