47^a Si hyperbolen¹, vel ellipsim, vel circuli periferiam linea tangens coincidat diametro: et per tactum et centrum linea ducatur, in ipsa sectione, per medium secabit ductas in sectione penes² tangentem.

Sit hyperbole, vel ellipsis, vel circulus, beh. // Cuius diameter ab. // Centrum g. // Tangens de. // Punctum tactus e. // Et coniungatur ge. // Atque per utcumque relictum punctum n in periferia ducatur penes et³ tangentem linea nh // Quam ge producta secet apud o.

// Dico iam quod no aequalis est ipsi⁴ oh.

// Ducantur enim ordinate znx bl occurrentes ipsi ge apud puncta l x item hmc occurrentes⁵ ipsi geo productae apud m.

// Eritque per 43^am huius, in hyperbola gcm aequale gbl cum tch simul. //

// Ablatoque communi gbl supererit tch aequum bcml.

// Rursumque per 43^am gzx aequale erit gbl cum tzn. // Ablatoque rursum communi gbl supererit tzn aequum bzxl.

// In ellipsi autem, et circulo gcm cum tch erit per 43^am aequale gbl.

// Demptoque communi gcm: supererit tch aequale bcml.

// Rursumque per 43^am [A:29v] gzx cum tzn aequale est gbl.

// Demptoque communi gzx supererit tzn aequum bzxl.

// Itaque tam in hyperbola⁶, quam in ellipsi, circuloque.

tzn aequale est bzxl itemque tch aequum ⁷ bcml.

// Qua[S:40]re et reliquum reliquo. Scilicet ⁸ nhcz aequale⁹ erit ¹⁰ mcxz¹¹.

// Commune auferatur pentagonum onzcm¹². // Et supererit omh aequale oxm cumque talia propter aequidistantiam basium sint similia; erunt et invicem aequilatera.

// Igitur ho on aequis angulis subtensae erunt invicem aequales. // Quod est propositum. Sed pro ipso n relicto puncto, capiatur ipsum b punctum. Hoc est, eat ho per summitatem sectionis. // Habebitque in tali casu linea bl vicem lineae znx.

// Et tunc per 43^am in hyperbola gmc aequum est gbl cum bch.

// In ellipsi vero

// Quare, ablato utrinque gbl in hyperbola: et in ellipsi et circulo, ^lo gmc¹³.

// Supererit utrobique¹⁴ bch aequale bcml.

// Rursumque dempto bcmo communi.

// Supererunt omh olb aequalia¹⁵. // Quae quidem cum sint similia, propter aequidistantiam basium, erunt invicem aequilatera.

// Quare ho ob aequos angulos respicientia latera invicem aequalia. // Quod est propositum. [A:30r] Ponatur [[etiam]]¹⁶ n contingenter relictum punctum ad reliquas sectionis partes.

// Et tunc per 43^am in hyperbola gcm aequale erit gbl cum tch.

// Ablatoque communi gbl supererit tch aequale bcml. // Rursumque, dempto communi tcmo supererit hom aequum btol.

// Item, quoniam, per 43^am gzx aequum est gbl cum tzn et ablato communi gbl superest tzn aequale bzxl.

// Apponatur commune tzxo. // Eritque nox aequale btol.

// Fuit autem btol aequale hom.

Igitur hom aequum est nox. Quae cum sint similia, erunt et invicem aequilatera.

// Quare ho on respondentia latera invicem aequalia.

// Quod est propositum.

// In ellipsi autem et circulo, per 43^am gmc tch simul aequalia gbl. Item tnz gzx simul aequalia gbl.

// Quare tnz simul sunt aequalia gmc gzx tch simul.

// Demptoque communi gto supersunt hom nox aequalia: quae cum sint¹⁷ similia, et ob id invicem aequilatera, erunt ho on respectiva latera invicem aequalia.

// Quod est demonstrandum.

[A:30v] //

Scholium

// Descriptio praesentis theorematis tam in hyperbola, quam in ellipsi et circulo tripliciter variatur, iuxta varium ipsius n, utcumque¹⁸ relicti puncti situm, atque ipsius hn ductum.

Non aliter ostendemus, quod, ipsa ge non solum ipsam hn sed omnes alias lineas intra sectionem penes de tangentem ductas singulas bifariam partitur. Et perinde, cum ab sit principalis diameter; ipsa ge erit ex generatione diameter. Et similiter demonstrabimus, quod omnis linea per sectionis centrum ducta in periferiam, erit ex generatione diametros in hyperbola¹⁹, ellipsi, circuloque.