[A:9v]

15^a. Si a bifaria sectione diametri¹ ellipsis ordinata recta ducatur utrinque ad periferiam ellipsis: sitque ut ordinata ad diametrum, sic diameter ad tertiam quamdam; tunc, quae ducitur a periferia ad ordinatam, aequidistans diametro, poterit, quod superficies adiacens² ad tertiam, latitudinem habens sub ipsa receptam ex ordinata ad periferiam, deficiens specie simili contento sub ordinata et tertia: et producta usque ad alteram partem periferiae bifariam secabitur ab ordinata.

[S:17] Sit ellipsis³, cuius diameter ab bifariam secetur in puncto g et ordinata ducatur dge. // Sitque sicut de ab sic ab dz ad rectos ipsi de. // Et [[qui]] contingens punctum⁴ h in periferia agatur ht penes ab diametro⁵. // Et connectatur ez. // Ducaturque tl penes dz compleaturque parallelogrammum lczm ^lum.

// Sit enim per 13^am huius: ipsa an ad quam possunt ordinatae ad ab diametrum. // Et agatur hx penes de. // Item xo gp penes an. // Et productae compleant⁷ qo ops⁸ sry, oyn.

// Itaque per 13^am praemissam dg potest ap. // Et hx potest ao. // Et quoniam ag gb aequales⁹, ideo ap qr aequalia¹⁰: et similiter xq qy aequalia invicem.

// Item quoniam, per 43^am primi Euclidis supplementa oq or sunt aequalia: posito iam communi no¹¹ erunt qy ns invicem aequalia: et ideo ^la xq [[ ns]] aequalia. // Positoque communi qs erit np vel ap aequale gnomoni¹² aop. // Igitur dg (quod est ipsum ap) maius est, quam hx (quod est ipsum ao ) in op. // Sed, per 5^am 2ⁱ Euclidis etd una cum tg sive hx aequale est dg.

// Igitur etd aequale est ^lo op. // Et quoniam de ab dz sunt in proportione continua. Ideo per 17^am 6ⁱ¹³ Euclidis sicut de dz sic de ab et sic dg gb quandoquidem dimidia integris sunt proportionalia. [A:10r] // Sed per primam sexti Euclidis etd dtl sicut¹⁴ et tl et ideo sicut de dz.

// Erit et similiter dg gb sicut pg gb.

// Et ideo sicut pg gb sic etd dtl.

// Sed sicut pg gb sic ps so et ideo per primam 6ⁱ sicut pso os.

// Igitur sicut pso os sic etd dtl.

// Sed dudum aequale fuit pso etd.

// Ergo per 14^am 5ⁱ os hoc est ipsius ht aequale erit dtl. // Quod erat ex demonstrandis primum. // Sed¹⁵ ducatur ht ad periferiam usque ellipseos ad punctum f.

// Aio deinde quod producta hf bifariam secatur ad ipsa de apud punctum t.

// Agatur enim ipsi hx aequidistans fk nec non k penes ipsam an usque ad bn.

// Eritque per 13^am praecedentem fk aequale ^lo ak et quadratum hx aequale ^lo ao cumque sint fk hx aequalia (quoniam lineae ipsae aequales) erunt et ak ao aequalia.

// Quamobrem per 15^am 6ⁱ¹⁶ xo ad k sicut¹⁷ ak ax. // Sed propter bxo bk similitudinem bx bk sicut¹⁸ xo k.

// Igitur ak ax sicut¹⁹ bx bk.

// Et disiunctim kx xa sicut²⁰ xk kb.

// Quare per 9^am 5ⁱ ax kb aequales²¹. // Sed ga gb aequales²². // Ergo gx gk aequales²³. Et ideo th tf aequales: quod restabat²⁴ demonstrandum.

Manifestum est²⁵ ergo quod in ellipsi ab de sunt coniugatae diametri: namque per 7^am ab secat ipsam de eiusque parallelas bifariam: itemque de. Sicut praesens ostendit, secat ipsam hf omnemque ipsius ab parallelum bifa[A:10v]riam. // Item sicut respectu ab primae²⁶ diametri, seu²⁷ transversi lateris, rectum latus, hoc est, ea, ad quam possunt ordinate ad diametrum fuit ipsa an linea. Ita, respectu²⁸ de secundae diametri, seu transversi lateris rectum latus, sive ad quam possunt ordinatae ad ipsam diametrum, erit ipsa dz. [[// ]] Ac demum, sicut est secunda diametros inter primam suamque rectam media proportionalis: ita et prima diametros est inter secundam; suamque [S:18] rectam itidem media proportionalis. Unde utraque potest species alterius. Cum species sit sub transversa²⁹ et recta³⁰ diametris contentam³¹.