[A:53r]
142
Superest nunc ostendere nonnulla, quae dudum nos ostensurum promisimus.
1a
143
Horum primum est, quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta facit triplum suae quadratae pyramidis.
144
Ut si ponatur numeri abcdefgh quorum h sit unitas, g binarius, f ternarius et sic deinceps per unitatis crementum usque ad a maximum. Deinde ipsis bcdefgh resarciantur excessus singuli singulis, quibus scilicet singuli ab ipso a maximo exceduntur. Hoc est ipsi b apponatur i unitas; ipsi c ipse k binarius; et caeteri lmnxo51 caeteris per unitatis crementum successive52 augmentati. Sic ib kc ld me nf xg oh singuli fient ipsi a aequales.
145
Iam ergo, quoniam quot sunt unitates in a numero totidem sunt numeri a bi ck dl em fn gx ho. Iam horum ti simul conficiunt cubum, cuius latus est a. Et quoniam hgfedcba53 ab ipsam h unitate et per unitatis crementum crescunt, ideo ipsorum congeries, quae iam fit ex h unitate in ipsorum hgfedcba congeriem, est triangulus, cuius latus ipse numerus a. Item ti numeri ipsorum abcdefgh conficiunt pyramidem quadratam, cuius basis est ipsius a. Licet ergo hic consyderare quatuor54 species collaterales numerorum, scilicet cubum quod est aggregatum ipsorum a bi ck dl em fn gx ho, quadratum ipsius a, triangulum, quod est aggregatum ipsorum abcdefgh, nec non pyramidem quadratam, quod est aggregatum ex tis ipsorum abcdefgh cuius basis est ipsius a. Quae quatuor numerorum species procreantur ex latere a et ideo collaterales vocantur: quem [A:53v] admodum ex earum diffinitionibus constat, et per tabellam superius expositam apparet. Demonstrandum igitur est, quod cubus, quadratus et triangulus praedicti simul coniuncti semper conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae: hoc est, quod aggregatum ex a ib kc ld me nf xg oh cum to ipsius a et cum aggregato ipsorum abcdefgh simul facit semper triplum aggregati ex ipsis tis ipsorum abcdefgh, hoc est quod
146
|
ti ex a ib |
kc ld me nf xg oh |
cubus |
 |
simul sunt triplum aggregati torum abcdefgh pyramidis scilicet tae |
tus qui ex a |
|
quadratus |
qui ex h |
in totum abcdefgh |
triangulus |
|
|
147
Quae demonstratio sic procedit.
148
In primis per 4am secundi Elementorum Euclidis
149
|
bi55 |
|
b |
i |
bi aequale est. |
kc |
|
k |
c |
kc aequale est. |
ld |
|
l |
d |
ld aequale est. |
me |
|
m |
e |
me aequale est. |
nf |
|
n |
f |
nf aequale est. |
xg |
|
x |
g |
xg aequale est. |
oh |
|
o |
h |
oh aequale est. |
|
|
150
Apponatur ergo utrobique a cum h in totum abcdefgh. Eritque
151
|
totum |
... |
toti |
... |
aequale |
a |
|
a |
|
per comunem conceptum |
bi |
|
b i bi |
kc |
|
k c kc |
ld |
|
l d ld |
me |
|
m e me |
nf |
|
n f nf |
xg |
|
x g xg |
oh |
|
o h oh |
h in totum |
|
h in totum |
abcdefgh |
abcdefgh |
|
|
152
[A:54r]
153
Sed iam
154
|
a |
sunt singula singulis aequalia et ideo simul sunt duplum ad |
 |
a |
simul sumpta. |
b o |
b |
c x |
c |
d n |
d |
e m |
e |
f l |
f |
g k |
g |
h i |
h |
|
|
155
Superest ergo demonstrare quod
156
|
bi |
 |
simul sumpta sunt aequalia |
 |
a |
simul sumptis. |
kc |
b |
ld |
c |
bi |
d |
me |
e |
nf |
f |
xg |
g |
oh |
h |
h in totum abcdefgh |
|
|
157
Quod sic demonstrabitur. Nam
158
|
a aequale est |
h et aggregati ex a duploque ipsarum |
bcdefgh |
b aequale est |
h et aggregati ex b duploque ipsarum |
cdefgh |
c aequale est |
h et aggregati ex c duploque ipsarum |
defgh |
d aequale est |
h et aggregati ex d duploque ipsarum |
efgh |
e aequale est |
h et aggregati ex e duploque ipsarum |
fgh |
f aequale est |
h et aggregati ex f duploque ipsarum |
gh |
g aequale est |
h et aggregato ex g duploque ipsius |
h |
h aequale |
h. |
|
|
159
Verum dicta septem ex h dictisque aggregatis cum h simul sunt aequalia octo quae sub h ipsaque a, tripla b, quincupla c, septupla d, nonupla e, undecupla f, [A:54v] tredecupla g atque quindecupla h continentur. Et deinde
160
|
Octo quae sub h |
 |
ipsaque a |
 |
simul aequalia sunt 7 lis quae sub h |
 |
duplaque b |
tripla b |
quadrupla c |
quincupla c |
sexcupla d |
septupla d |
octupla e |
nonupla e |
decupla f |
undecupla f |
duodecupla g |
tredecupla g |
quatuordecupla h una cum |
quindecupla h |
h et aggregati ex abcdefgh |
|
|
161
Dicta vero 7 la sub h dictisque multiplicibus una cum sub h dictoque aggregato aequalia sunt his scilicet bi kc ld me nf xg oh una cum h et aggregati ex abcdefgh.
162
Quandoquidem
163
|
bi aequale est |
h duplaeque b |
kc aequale est |
h quadruplaeque c |
ld aequale est |
h sexcuplaeque d |
me aequale est |
h octuplaeque e |
nf aequale est |
h decuplaeque f |
xg aequale est |
h duodecuplaeque g |
oh aequale est |
h quatuordecuplaeque h |
|
|
[A:55r]
164
Igitur octo56 quadrati, qui ex octo57 numeris abcdefgh, simul sumpti aequales erunt dictis septem rectangulorum paribus sub bi kc ld me nf xg oh numeris comprehensis, una cum ex h et aggregato ipsorum abcdefgh. Quod supererat demonstrandum. Quam ob rem cubus, quadratus et lus praedicti simul coniuncti conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae. Et id idem de omni alio cubo, quadrato, triangulo et pyramide quadrata collateralibus ostendetur eodem argumentandi processu: quemadmodum demonstrandum proponebatur.
165
Praemissa demonstratio desumpta est ex 10a propositione Archimedis de Spiralibus.
2
166
Praeterea, si quis multiplicet aggregatum ex proposito quopiam numero et unitate in aggregatum ex quadrato numeri propositi et ex dimidio eiusdem propositi: conficiet ex tali multiplicatione triplum aggregati quadratorum ab [A:55v] unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive: hoc est triplum quadratae pyramidis proposito numero collateralis.
167
Quod sic ostendam. In58 praemissa descriptione sit propositus numerus a. Aio quod aggregatum ex ah multiplicatum in congeriem ex quadrato ipsius a dimidioque eiusdem a producit triplum pyramidis59 tae collateralis. Namque cum a ductus in a faciat cubum ipsius a, iam ah totus in tum a faciet aggregatum ex cubo et quadrato talibus. Cumque per regulam progressionis ha totus in dimidium ipsius a faciat aggregatum ipsorum abcdefgh hoc est triangulum collateralem ipsius a. Propterea et ha totus in aggregatum ex to a dimidioque eiusdem a producet aggregatum ex cubo, quadrato, et triangulo praedictis: fuit autem, per praecedentem, id aggregatum triplum pyramidis quadratae praedictae. Igitur ah totus multiplicatus in aggregatum ex ipsius a et ex eiusdem a dimidio producit triplum pyramidis praedictae collateralis, hoc est triplum cumuli ex tis abcdefgh numerorum coniunctis confecti. Et hoc fuit demonstrandum.
[A:56r] 3
168
Nunc ostendam quod columna pentagona una cum duplo quadrati collateralis semper efficit triplum suae pyramidis pentagonae.
169
Namque numerus pentagonus constat ex to et immediate praecedenti triangulo. Et similiter pyramis pentagona conflatur ex pyramide quadrata et pyramide triangula immediate praecedenti. Item columna pentagona constat ex columna quadrata seu cubo collaterali60 et ex columna triangula et lo immediate praecedentibus. Cumque columna quadrata seu cubus cum to et lo collateralibus una faciat triplum suae pyramidis quadratae (per antepraemissam), itemque columna triangula cum duplo trianguli collateralis coniuncta efficiat triplum suae pyramidis lae, ut alibi ostensum est. Atque ideo columna illa, triangula61 quae unum secum lum assumpserat ad constructionem columnae pentagonae, hic unum tantum, sibi postulet lum ad consummandum triplum suae pyramidis. Qui quidem lus iunctus cum lo sequenti, (62 quem scilicet sibi cubus assumpserat cum to ad integrandum triplum suae pyramidis tae) conficiat tum aequalem dicto; propterea sequitur, ut columna pentagona cum duplo quadrati collateralis coniuncta semper faciat triplum suae pyramidis collateralis: sicut proponitur demonstrandum.
170
|
175 columna pentagona constat ex |
 |
columna ta 12563 seu cubo qui cum suis |
 |
to 25 |
 |
facit triplum pyramidis tae 55 |
 |
pyramis pentagona 75 |
lo 15 |
columna la 4064 et lo quae cum alio |
|
lo 1065 |
|
facit triplum pyramidis lae 20 |
|
|
171
|
Sed |
 |
lum 15 |
 |
faciunt alium tum 25 |
lum 10 |
|
|
172
Igitur columna pentagona 17566 cum duplo ti 25, hoc est cum 50, facit triplum pyramidis pentagonae 75.
173
Quod erat demonstrandum.
[A:56v] 4
174
Subiungemus et illud, quod demonstrandum simul promiseramus, quod columna hexagona prima cum collateralis quadrati duplo et cum praecedenti lo iuncta, facit triplum hexagonae suae pyramidis.
175
Nam numerus hexagonus primus constat ex pentagono collaterali et lo praecedenti. Et similiter pyramis hexagona prima constat ex pyramide pentagona collaterali et pyramide la praecedenti. Item columna hexagona prima conflatur ex columna pentagona collaterali et ex columna la cum lo praecedentibus. Cumque per praecedentem, columna pentagona cum duplo ti collateralis faciat triplum suae pyramidis nae, columna vero la, ut alibi ostensum est, cum duplo sui li efficiat triplum suae pyramidis: propterea semper necesse est, ut columna hexagona praedicta cum duplo ti praedicti et uno lo (nam alium lum assumpserat sibi columna la ad construendam columnam nam) coniuncta perficiat triplum suae pyramidis hexagonae sicut proponitur demonstrandum.
176
|
Columna 22567 |
 |
columna na quae cum |
25 |
facit triplum pyramidis 7568 |
 |
pyramis na 9569 |
25 |
columna la 4070 cum lo 1071 quae cum alio 1072 facit triplum pyramidis lae 2073 |
|
|
177
Igitur et
178
columna 22574 cum 25 2575 et lo 1076 faciet triplum pyramidis ae 9577.
179
Quod erat demonstrandum.
5
180
Hinc sequitur ut eadem columna hexagona prima cum suo hexagono et collaterali lo coniuncta faciat idem triplum suae pyramidis.
181
Namque cum ipse hexagonus constet ex collaterali to binisque praecedentibus  is, atque  lorum horum unus cum lo collaterali memorato conficiat dictum tum. Iam dictus hexagonus una78 cum collaterali dicto lo aequabit aggregatum ex dicti ti duplo dictorumque praece [A:57r] dentium  lorum uno: sed, per praecedentem, columna hexagona, de qua loquimur, una cum dicti ti duplo, ac dictorum triangulorum uno coniuncta conflabat triplum suae pyramidis. Igitur et eadem hexagona columna cum dicto suo hexagono, dictoque collaterali lo simul posita non minus, integrabit dictum memoratae pyramidis suae triplum, quod erat ostendendum.
182
|
Hexagonus 45 |
 |
25 |
10 |
10 |
 |
25 |
Triangulus 15 |
|
|
|
183
Hinc constat aperte propositum. 6
184
Columnam vero triangulam semper esse collaterali pentagonae pyramidi aequalem haud difficulter demonstrare possumus.
185
Exponatur ab unitate numeri quotcumque et per unitatem crescentes ordinatim scilicet a unitas, bc binarius, de ternarius, fg quaternarius et deinceps eodem ordine quotlibet: et ex ipsis bc de fg procreentur eorum quadrati. Et unitates ghkl faciant altitudinem postremi quadrati. Item super quadratos bc de fg applicentur li praecedentes: hoc est to bc unitas m79: to de ternarius n, quadrato fg senarius o et deinceps alii sequentibus. Iam enim ex diffinitione bc tus cum m unitate facit pentagonum ab unitate 2um, bc tus cum n lo pentagonum sequentem, fg tus cum o lo pentagonum sequentem et deinceps, alii alios.
186
Et sicut a est ipse m quia uterque unitas, ita n constat ex aggregato a bc; triangulus autem o ex aggregato a bc de; triangulus quoque sequens in ordine, ex [A:57v] aggregato ipsorum a bc de fg. Unde ex diffinitione ex multitudine horum numerorum, in postremum lum producitur columna la, hoc est in hoc exemplo, ex quaternario (cum quatuor sint numeri pentagoni expositi) in aggregatum ipsorum a bc de, fg80 quod est lus quaternario collateralis, fiet columna la; et ex aggregatione unitatis et trium sequentium pentagonorum construetur pyramis pentagona dictae columnae collateralis. Demonstrandum ergo est quod productum ex quaternario in totum a bc de fg aequale est aggregato unitatis et trium sequentium pentagonorum.
Hoc modo m unitas transposita super a unitatem faciet binarium: qui cum to bc constituet planum numerum sub latitudine binarii et longitudine ternarii facientis 2um lum ab unitate. Deinde n ternarius transpositus super dicti plani longitudinem augebit celsitudinem dicti plani ad aequalitatem ti de cum quo planum constituet sub latitudine ternarii et longitudine senarii, qui sequentem lum facit. Postremo o senarius transpositus super longitudinem dictam sibi parem, augendo plani celsitudinem ad aequalitatem ti fg cum ipso to planum conficiet sub latitudine quaternarii et longitudine denarii, quod est aggregatum ex a bc de fg. Quam ob rem productum ex quaternario, quod est multitudo assumptorum numerorum, in totum81aggregatum ex a bc de fg, hoc est in lum collateralem quod est 10, consumat congeriem ex unitate, sequentibus tribus pentagonis compositam: et similiter in quotcumque numeris ab unitate ordinatis faciemus, semper concludetur82 columnam triangulam esse aequalem collaterali pentagonae pyramidi sicut demon [A:58r] strandum proponitur.
7a
187
Si propositi cuiuspiam numeri et83 numeri unitate maioris congeries multiplicetur in planum ab eisdem contentum: numerus ex multiplicatione productus erit sexcuplus ad aggregatum quadratorum ab unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive ordinatorum.
188
Esto propositus quicumque numerus a et numerus b unitate maior: quorum congeries c, planus vero sub ipsis ab contentus sit d. Et ex c in ipsum d fiat e. Dico quod e numerus sexcuplus est ad aggregatum torum ab unitate inclusive usque ad tum ipsius a ordinatorum. Cum enim ex a in b fiat d iam per diffinitionem multiplicationis, erit sicut b unitatem sic utique d a. Sit itaque a duplus ipsius f. Atque g aggregatum ex to a et ex f. Sic enim d erit aggregatum ipsarum gf. Item sit h duplus ipsius b. Eritque ex aequa proportione, sicut h unitatem, sic utique d f. Et eversim, sicut h c sic d g. Sit ergo k84 planus ex g in h. Eritque per 15am sexti Euclidis k85 planus aequalis plano e qui sub cd continetur. Sed, ut ostensum fuit in 2a harum propositionum, ex b, quod est aggregatum ex a proposito numero et ex unitate, in g, quod fuit aggregatum ex ipsius a et ex f eius dimidio, producitur triplum aggregati quadratorum ab unitate inclusive usque ad tum ipsius a, igitur ex h duplo ipsius b in g producetur sexcuplum praedicti quadratorum aggregati. Sexcuplus itaque erit k ad praedictum aggregatum quadratorum. Aequalis autem fuit ipsi k plano ipse e planus: et e igitur sexcuplus erit ad non semel dictum quadratorum aggregatum.
189
Quod fuit demonstrandum.
190
Catanae kalendas decembris 1553.
[A:58v] 8
191
Tres numeri trianguli in ordine triangulorum immediate sumpti, atque coniuncti efficiunt triplum medii cum unitate iunctum.
192
Patet facillime, nam differentia, qua postremus trium talium triangulorum excedit86 secundum est unitate maior, quam differentia, qua secundus87 excedit primum. Et ideo aggregatum ex primo et postremo facit duplum secundi cum unitate. Unde et aggregatum ex tribus simul faciet triplum secundi cum unitate: sicut proponitur.
9
193
Omnis triangulus duplicatus et cum duobus praecedente et sequente lis88 coniunctus facit quadruplum sui cum unitate.
194
Sequitur ex praecedenti apertissime.
10
195
Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente lis coniunctus facit aggregatum duorum quadratorum collateralium medio et maximo ex dictis lis89.
196
Patet, nam ut ostendit Iordanus, duo collaterali et sequente90 trianguli faciunt quadratum maiori lo collateralem.
11
197
Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente lis coniunctus, facit duplum parte altera longioris maximo ex dictis lis collateralis cum91 unitate iunctum.
198
Nam cum ex antepraemissa, dictum duplum medii li cum lis praecedente et sequente faciat quadruplum medii cum unitate: duplum autem medii constituat92 ipsum iam memoratum parte altera longiorem, ut ostendit Iordanus, sequitur iam apertissime id, quod proponitur.
199
|
6 |
10 |
|
1 |
10 |
|
20 |
15 |
|
20 |
|
|
|
4193 |
|
4194 |
|
|
[A:59r] 12
200
Hexagonus aequilaterus conflatur ex aggregatione parte altera longioris95 et quadrati collateralium una cum quadrato immediate praecedenti.
201
Nam per praecedentem, duplum li medii cum aggregato praecedentis et sequentis triangulorum facit duplum parte altera longioris maximo lo collateralis cum unitate iunctum. Per antepraemissam autem, facit aggregatum duorum quadratorum medio et maximo lo collateralium: igitur aggregatum horum duorum torum aequale erit aggregato ex dicto duplo96 parte altera longioris et unitate. Apponatur utrobique parte altera longior praedicto aequalis. Eritque aggregatum ex dictis duobus quadratis et ex parte altera longiore aequale triplo parte altera longioris cum unitate. Verum, ut antea demonstravimus in his arithmeticis, triplum huiusmodi parte altera longioris cum unitate iunctum facit hexagonum aequilaterum collateralem. Ergo et ipse hexagonus aequilaterus aequalis erit97 aggregato dictorum duorum quadratorum et dicti parte altera longioris. Sicut demonstrandum proponitur.
202
|
Ergo et hexagonus |
|
 |
parte altera longiore |
praedictis |
|
|
13
203
Si fuerint quotcumque numeri ab unitate, et per unitatem crescentes: productus ex postremo in aggregatum ex postremo et unitate duplus erit ad omnium crescentium congeriem.
204
Patet [A:59v] quoniam ex tali multiplicatione, per diffinitionem fit numerus parte altera longior proxime sequens. Hic autem per demonstrata Iordani, duplus est ad triangulum suum praecedentem, hoc est ad congeriem propositorum crescentium numerorum. Constat ergo propositum. 14a
205
Columna triangula cum duplo sui trianguli coniuncta triplum facit collateralis lae pyramidis.
206
Hoc est, columna la, cuius celsitudo excedit binario celsitudinem suae pyramidis, est ad ipsam pyramidem tripla. Esto a unitas, b binarius, c ternarius, d quaternarius, e quinarius, f senarius, g septenarius, itaque deinceps ad libitum. Unde, cum a sit unitas, erit, per diffinitionem ab alter ab unitate lus. Et abc sequens lus. Et abcd quartus lus. Et abcde quintus lus. Et sic successive. Esto igitur l postremus ex his quinque in proposito  lis. Numerus autem g unitate maior, quam f. Et ideo binario maior, quam e. Atque ex g in ipsum l fiat p. Demonstrandum est quod p quae iam est columna la, cuius basis lus l, binario excelsior pyramide la, quam consummant quinque  li98 lhfca cuius basis est idem lus l, tripla est eiusdem pyramidis.
207
Erunt enim numeri gfedcb singuli [A:60r] aggregata duorum extremorum, hoc est unitatis et postremi constituentium singulos los qui sunt lhfca. Utpote g aggregatum ex af. Et f aggregatum ex ae. Et e aggregatum ex ad. Et d aggregatum ex ac. Et c aggregatum ex ab. Itaque ex f in h fiat n. Item ex e in f fiat m. Item ex d in c fiat k. Atque ex c in a fiat ipse c quoniam a est unitas.
208
Ostendamque quod ipse p excedit99 ipsum n in triplo ipsius l. Sic. Per praecedentem, ex f qui aggregatur ex a unitate et ex extremo ipsorum abcde ducto in ipsum extremum e (qui est differentia ipsorum hl per diffinitionem  lorum) producit duplum aggregati ex ipsis abcde, hoc est ipsius l qui lus est, ex dictis abcde aggregatus. Igitur in tali duplo ipsius l, numerus qui fit ex f in l excedit ipsum n productum iam ex f in h. Verum, qui fit ex g in l scilicet ipse p excedit eum, qui ex f in l, in ipso numero l quandoquidem fg differunt unitate. Ergo, qui fit ex g in l scilicet p excedit ipsum n qui ex f in h, in triplo ipsius l. Eodemque processu ostendam, quod excessus n quo superat ipsum m triplus erit ipsius h quodque excessus m super k triplus erit ipsius f quodque excessus ipsius k super c triplus erit ipsius c. Nam c quia ternarius, triplus tandem per se constat esse ad a unitatem. Et perinde ipse p qui constat ex aggregatione dictorum quatuor excessum et ex c triplus erit [A:60v] ad aggregatum ex ipsis lhfca. Et similiter procedemus in quotcumque propositis numeris eodem processu dispositis. Quod erat demonstrandum.
209
|
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
|
3 |
d |
|
4 |
e |
|
5 |
f |
|
6 |
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
|
3 |
d |
|
4 |
e |
|
5 |
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
|
3 |
d |
|
4 |
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
|
3 |
a |
|
1 |
b |
|
2 |
c |
a |
|
1 |
|
|
210
|
g |
|
7 |
l |
|
15 |
p |
|
105 |
f |
|
6 |
h |
|
10 |
n |
|
60 |
e |
|
5 |
f |
|
6 |
m |
|
30 |
d |
|
4 |
c |
|
3 |
k |
|
12 |
c |
|
3 |
a |
|
2 |
c |
|
3 |
b |
|
2 |
|
|
15a
211
Rursus, aliterque demonstrare quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta triplum efficit suae quadratae pyramidis.
212
Esto cubus a, quadratus eius b et lus c, quadrata pyramis d.
213
Dico quod cumulus ex abc factus est triplus ad ipsum d. Quod sic patet. Pyramis d constat ex sua pyramide la collaterali quae sit e et ex pyramide la immediate praecedenti quae sit f ut constitit. Itaque triplum ipsius d aequale erit aggregato ex triplo ipsius e triploque ipsius f. Sit g lus ipsi c lo aequalis: et h columna la100 eidem collateralis: itemque sint  li proxime inferiores et invicem aequales, ipsi kl, et eorum columnis collateralis, proxime scilicet inferior pyramide h et collateralis pyramidi lae f. Eritque per praecedentem, columna la h cum duobus suis triangulis cg simul aequalis triplo pyramidis lae e. Nec non [A:61r] columna la m pariter cum duobus suis triangulis kl similiter triplo suae pyramidis lae f aequalis: verum ut in primordiis arithmeticae patuit, cubus a aequalis est aggregato columnarum hm et trianguli k. Quadratus autem b ex composito triangulorum gl conflatur. Igitur si pro columnarum hm et triangulorum gkl aggregato sumatur cubus a cum to b iam erit aggregatum ex cubo a quadratoque b trianguloque101 c aequale aggregato columnarum102 hm ac triangulorum cgkl. Sed huiusmodi aggregatum columnarum hm et triangulorum cgkl aequale fuit aggregato ex triplo pyramidis e triploque pyramidis f et103 perinde aequale triplo quadratae pyramidis d. Ergo et triplum quadratae pyramidis d aequale erit cumulo, qui ex cubo a quadrato b trianguloque c constabat. Sicut erat demonstrandum.
214
Ecce multo brevius ac facilius in praesenti propositione ostensum est id, quod in prima propositione fuerat ex traditione Archimedis demonstratum. Rursum igitur ex hac possunt demonstrari 2a et 3a propositiones, quae per primam demonstratae sunt: et sequentes 4a et 5a ex his postea demonstrate. Item et 7a quae per 2am. Quam ob rem 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a et praesens 15a essent in principio ponendae. Quoniam concatenatae sunt in ordine de [A:61v] monstrandi. Sic in hoc et in aliis duobus arithmeticae nostrae libellis, quos antea scripseramus, supplevimus ea, quae Boetius et Iordanus circa formas numerarias omiserant.
215
Catanae 6 novembris 1553.
|