F  r  a  n  c  i  s  c  i        M  a  u  r  o  l  y  c  i        O  p  e  r  a        M  a  t  h  e  m  a  t  i  c  a
Introduzione Help Pianta Sommario
Fragmenta arithmeticorum 7473-41r-85r Frag. 9
<- App. -> <- = ->

[A:53r] 142 Superest nunc ostendere nonnulla, quae dudum nos ostensurum promisimus.

1a

143 Horum primum est, quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta facit triplum suae quadratae pyramidis.

144 Ut si ponatur numeri abcdefgh quorum h sit unitas, g binarius, f ternarius et sic deinceps per unitatis crementum usque ad a maximum. Deinde ipsis bcdefgh resarciantur excessus singuli singulis, quibus scilicet singuli ab ipso a maximo exceduntur. Hoc est ipsi b apponatur i unitas; ipsi c ipse k binarius; et caeteri lmnxo51 caeteris per unitatis crementum successive52 augmentati. Sic ib kc ld me nf xg oh singuli fient ipsi a aequales.

figura 4

145 Iam ergo, quoniam quot sunt unitates in a numero totidem sunt numeri a bi ck dl em fn gx ho. Iam horum quadratoti simul conficiunt cubum, cuius latus est a. Et quoniam hgfedcba53 ab ipsam h unitate et per unitatis crementum crescunt, ideo ipsorum congeries, quae iam fit ex h unitate in ipsorum hgfedcba congeriem, est triangulus, cuius latus ipse numerus a. Item quadratoti numeri ipsorum abcdefgh conficiunt pyramidem quadratam, cuius basis est quadrato ipsius a. Licet ergo hic consyderare quatuor54 species collaterales numerorum, scilicet cubum quod est aggregatum ipsorum a bi ck dl em fn gx ho, quadratum ipsius a, triangulum, quod est aggregatum ipsorum abcdefgh, nec non pyramidem quadratam, quod est aggregatum ex quadrato quadratotis ipsorum abcdefgh cuius basis est quadrato ipsius a. Quae quatuor numerorum species procreantur ex latere a et ideo collaterales vocantur: quem [A:53v] admodum ex earum diffinitionibus constat, et per tabellam superius expositam apparet. Demonstrandum igitur est, quod cubus, quadratus et triangulus praedicti simul coniuncti semper conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae: hoc est, quod aggregatum ex quadrato quadrato a ib kc ld me nf xg oh cum quadratoto ipsius a et cum aggregato ipsorum abcdefgh simul facit semper triplum aggregati ex ipsis quadrato quadratotis ipsorum abcdefgh, hoc est quod

146

quadrato quadratoti ex a ib kc ld me nf xg oh cubus graffa chiusa simul sunt triplum aggregati quadrato quadratotorum abcdefgh pyramidis scilicet quadratotae
quadratotus qui ex a
quadratus
rettangolo qui ex h in totum abcdefgh triangulus

147 Quae demonstratio sic procedit.

148 In primis per 4am secundi Elementorum Euclidis

149

quadrato bi55 ad quadrato b quadrato i doppiorettangolo bi aequale est.
quadrato kc ad quadrato k quadrato c doppiorettangolo kc aequale est.
quadrato ld ad quadrato l quadrato d doppiorettangolo ld aequale est.
quadrato me ad quadrato m quadrato e doppiorettangolo me aequale est.
quadrato nf ad quadrato n quadrato f doppiorettangolo nf aequale est.
quadrato xg ad quadrato x quadrato g doppiorettangolo xg aequale est.
quadrato oh ad quadrato o quadrato h doppiorettangolo oh aequale est.

150 Apponatur ergo utrobique quadrato quadrato a cum rettangolo h in totum abcdefgh. Eritque

151

totum ... toti ... aequale
quadrato quadrato a
quadrato quadrato a   per comunem conceptum
quadrato bi
quadrato b quadrato i doppiorettangolo bi
quadrato kc
quadrato k quadrato c doppiorettangolo kc
quadrato ld
quadrato l quadrato d doppiorettangolo ld
quadrato me
quadrato m quadrato e doppiorettangolo me
quadrato nf
quadrato n quadrato f doppiorettangolo nf
quadrato xg
quadrato x quadrato g doppiorettangolo xg
quadrato oh
quadrato o quadrato h doppiorettangolo oh
rettangolo h in totum
rettangolo h in totum
abcdefgh abcdefgh

152

figura 5

[A:54r] 153 Sed iam

154

quadrato quadrato a sunt singula singulis aequalia et ideo simul sunt duplum ad graffa aperta quadrato a simul sumpta.
quadrato b quadrato o quadrato b
quadrato c quadrato x quadrato c
quadrato d quadrato n quadrato d
quadrato e quadrato m quadrato e
quadrato f quadrato l quadrato f
quadrato g quadrato k quadrato g
quadrato h quadrato i quadrato h

155 Superest ergo demonstrare quod

156

doppiorettangolo bi graffa chiusa simul sumpta sunt aequalia graffa aperta quadrato a simul sumptis.
doppiorettangolo kc quadrato b
doppiorettangolo ld quadrato c
doppiorettangolo bi quadrato d
doppiorettangolo me quadrato e
doppiorettangolo nf quadrato f
doppiorettangolo xg quadrato g
doppiorettangolo oh quadrato h
rettangolo h in totum abcdefgh

157 Quod sic demonstrabitur. Nam

158

quadrato a aequale est rettangolo h et aggregati ex a duploque ipsarum bcdefgh
quadrato b aequale est rettangolo h et aggregati ex b duploque ipsarum cdefgh
quadrato c aequale est rettangolo h et aggregati ex c duploque ipsarum defgh
quadrato d aequale est rettangolo h et aggregati ex d duploque ipsarum efgh
quadrato e aequale est rettangolo h et aggregati ex e duploque ipsarum fgh
quadrato f aequale est rettangolo h et aggregati ex f duploque ipsarum gh
quadrato g aequale est rettangolo h et aggregato ex g duploque ipsius h
quadrato h aequale quadrato h.
159 Verum dicta septem rettangolo ex h dictisque aggregatis cum quadrato h simul sunt aequalia octo rettangolo quae sub h ipsaque a, tripla b, quincupla c, septupla d, nonupla e, undecupla f, [A:54v] tredecupla g atque quindecupla h continentur. Et deinde

160

Octo rettangolo quae sub h graffa aperta ipsaque a graffa chiusa simul aequalia sunt 7 rettangololis quae sub h graffa aperta duplaque b
tripla b quadrupla c
quincupla c sexcupla d
septupla d octupla e
nonupla e decupla f
undecupla f duodecupla g
tredecupla g quatuordecupla h una cum
quindecupla h rettangolo h et aggregati ex abcdefgh

161 Dicta vero 7 rettangolola sub h dictisque multiplicibus una cum rettangolo sub h dictoque aggregato aequalia sunt his scilicet doppiorettangolo bi doppiorettangolo kc doppiorettangolo ld doppiorettangolo me doppiorettangolo nf doppiorettangolo xg doppiorettangolo oh una cum rettangolo h et aggregati ex abcdefgh.

162 Quandoquidem

163

doppiorettangolo bi aequale est rettangolo h duplaeque b
doppiorettangolo kc aequale est rettangolo h quadruplaeque c
doppiorettangolo ld aequale est rettangolo h sexcuplaeque d
doppiorettangolo me aequale est rettangolo h octuplaeque e
doppiorettangolo nf aequale est rettangolo h decuplaeque f
doppiorettangolo xg aequale est rettangolo h duodecuplaeque g
doppiorettangolo oh aequale est rettangolo h quatuordecuplaeque h
[A:55r] 164 Igitur octo56 quadrati, qui ex octo57 numeris abcdefgh, simul sumpti aequales erunt dictis septem rectangulorum paribus sub bi kc ld me nf xg oh numeris comprehensis, una cum rettangolo ex h et aggregato ipsorum abcdefgh. Quod supererat demonstrandum. Quam ob rem cubus, quadratus et triangololus praedicti simul coniuncti conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae. Et id idem de omni alio cubo, quadrato, triangulo et pyramide quadrata collateralibus ostendetur eodem argumentandi processu: quemadmodum demonstrandum proponebatur.

165 Praemissa demonstratio desumpta est ex 10a propositione Archimedis de Spiralibus.

figura 6

2

166 Praeterea, si quis multiplicet aggregatum ex proposito quopiam numero et unitate in aggregatum ex quadrato numeri propositi et ex dimidio eiusdem propositi: conficiet ex tali multiplicatione triplum aggregati quadratorum ab [A:55v] unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive: hoc est triplum quadratae pyramidis proposito numero collateralis.

167 Quod sic ostendam. In58 praemissa descriptione sit propositus numerus a. Aio quod aggregatum ex ah multiplicatum in congeriem ex quadrato ipsius a dimidioque eiusdem a producit triplum pyramidis59 quadratotae collateralis. Namque cum a ductus in quadrato a faciat cubum ipsius a, iam ah totus in quadratotum a faciet aggregatum ex cubo et quadrato talibus. Cumque per regulam progressionis ha totus in dimidium ipsius a faciat aggregatum ipsorum abcdefgh hoc est triangulum collateralem ipsius a. Propterea et ha totus in aggregatum ex quadratoto a dimidioque eiusdem a producet aggregatum ex cubo, quadrato, et triangulo praedictis: fuit autem, per praecedentem, id aggregatum triplum pyramidis quadratae praedictae. Igitur ah totus multiplicatus in aggregatum ex ipsius a quadrato et ex eiusdem a dimidio producit triplum pyramidis praedictae collateralis, hoc est triplum cumuli ex quadrato quadratotis abcdefgh numerorum coniunctis confecti. Et hoc fuit demonstrandum.

figura 7

[A:56r] 3

168 Nunc ostendam quod columna pentagona una cum duplo quadrati collateralis semper efficit triplum suae pyramidis pentagonae.

169 Namque numerus pentagonus constat ex quadratoto et immediate praecedenti triangulo. Et similiter pyramis pentagona conflatur ex pyramide quadrata et pyramide triangula immediate praecedenti. Item columna pentagona constat ex columna quadrata seu cubo collaterali60 et ex columna triangula et triangololo immediate praecedentibus. Cumque columna quadrata seu cubus cum quadratoto et triangololo collateralibus una faciat triplum suae pyramidis quadratae (per antepraemissam), itemque columna triangula cum duplo trianguli collateralis coniuncta efficiat triplum suae pyramidis triangololae, ut alibi ostensum est. Atque ideo columna illa, triangula61 quae unum secum triangololum assumpserat ad constructionem columnae pentagonae, hic unum tantum, sibi postulet triangololum ad consummandum triplum suae pyramidis. Qui quidem triangololus iunctus cum triangololo sequenti, (62 quem scilicet sibi cubus assumpserat cum quadratoto ad integrandum triplum suae pyramidis quadratotae) conficiat quadratotum aequalem dicto; propterea sequitur, ut columna pentagona cum duplo quadrati collateralis coniuncta semper faciat triplum suae pyramidis collateralis: sicut proponitur demonstrandum.

170

175 columna pentagona constat ex graffa aperta columna quadratota 12563 seu cubo qui cum suis graffa aperta quadratoto 25 graffa chiusa facit triplum pyramidis quadratotae 55 graffa chiusa pyramis pentagona 75
triangololo 15
columna triangolola 4064 et triangololo quae cum alio
triangololo 1065
facit triplum pyramidis triangololae 20

171

Sed graffa aperta triangololum 15 graffa chiusa faciunt alium quadratotum 25
triangololum 10

172 Igitur columna pentagona 17566 cum duplo quadratoti 25, hoc est cum 50, facit triplum pyramidis pentagonae 75.

173 Quod erat demonstrandum.

[A:56v]

4

174 Subiungemus et illud, quod demonstrandum simul promiseramus, quod columna hexagona prima cum collateralis quadrati duplo et cum praecedenti triangololo iuncta, facit triplum hexagonae suae pyramidis.

175 Nam numerus hexagonus primus constat ex pentagono collaterali et triangololo praecedenti. Et similiter pyramis hexagona prima constat ex pyramide pentagona collaterali et pyramide triangolola praecedenti. Item columna hexagona prima conflatur ex columna pentagona collaterali et ex columna triangolola cum triangololo praecedentibus. Cumque per praecedentem, columna pentagona cum duplo quadratoti collateralis faciat triplum suae pyramidis pentagononae, columna vero triangolola, ut alibi ostensum est, cum duplo sui triangololi efficiat triplum suae pyramidis: propterea semper necesse est, ut columna hexagona praedicta cum duplo quadratoti praedicti et uno triangololo (nam alium triangololum assumpserat sibi columna triangolola ad construendam columnam esagono centralenam) coniuncta perficiat triplum suae pyramidis hexagonae sicut proponitur demonstrandum.

176

Columna esagono centrale 22567 graffa aperta columna pentagonona ad quae cum quadrato 25 facit triplum pyramidis pentagono 7568 graffa chiusa pyramis esagono centralena 9569
quadrato 25
columna triangolola 4070 cum triangololo 1071 ad quae cum alio triangolo 1072 facit triplum pyramidis triangololae 2073

177 Igitur et 178 columna esagono centrale 22574 cum quadrato quadrato 25 2575 et triangololo 1076 faciet triplum pyramidis esagono centraleae 9577.

179 Quod erat demonstrandum.

5

180 Hinc sequitur ut eadem columna hexagona prima cum suo hexagono et collaterali triangololo coniuncta faciat idem triplum suae pyramidis.

181 Namque cum ipse hexagonus constet ex collaterali quadratoto binisque praecedentibus triangolotriangolois, atque triangolotriangololorum horum unus cum triangololo collaterali memorato conficiat dictum quadratotum. Iam dictus hexagonus una78 cum collaterali dicto triangololo aequabit aggregatum ex dicti quadratoti duplo dictorumque praece [A:57r] dentium triangolotriangololorum uno: sed, per praecedentem, columna hexagona, de qua loquimur, una cum dicti quadratoti duplo, ac dictorum triangulorum uno coniuncta conflabat triplum suae pyramidis. Igitur et eadem hexagona columna cum dicto suo hexagono, dictoque collaterali triangololo simul posita non minus, integrabit dictum memoratae pyramidis suae triplum, quod erat ostendendum.

182

Hexagonus esagono centrale 45 graffa aperta quadrato 25
triangolo 10
triangolo 10 graffa chiusa quadrato 25
Triangulus triangolo 15

183 Hinc constat aperte propositum.

6

184 Columnam vero triangulam semper esse collaterali pentagonae pyramidi aequalem haud difficulter demonstrare possumus.

185 Exponatur ab unitate numeri quotcumque et per unitatem crescentes ordinatim scilicet a unitas, bc binarius, de ternarius, fg quaternarius et deinceps eodem ordine quotlibet: et ex ipsis bc de fg procreentur eorum quadrati. Et unitates ghkl faciant altitudinem postremi quadrati. Item super quadratos bc de fg applicentur triangololi praecedentes: hoc est quadratoto bc unitas m79: quadratoto de ternarius n, quadrato fg senarius o et deinceps alii sequentibus. Iam enim ex diffinitione bc quadratotus cum m unitate facit pentagonum ab unitate 2um, bc quadratotus cum n triangololo pentagonum sequentem, fg quadratotus cum o triangololo pentagonum sequentem et deinceps, alii alios.

figura 8

186 Et sicut a est ipse m quia uterque unitas, ita n constat ex aggregato a bc; triangulus autem o ex aggregato a bc de; triangulus quoque sequens in ordine, ex [A:57v] aggregato ipsorum a bc de fg. Unde ex diffinitione ex multitudine horum numerorum, in postremum triangololum producitur columna triangolola, hoc est in hoc exemplo, ex quaternario (cum quatuor sint numeri pentagoni expositi) in aggregatum ipsorum a bc de, fg80 quod est triangololus quaternario collateralis, fiet columna triangolola; et ex aggregatione unitatis et trium sequentium pentagonorum construetur pyramis pentagona dictae columnae collateralis. Demonstrandum ergo est quod productum ex quaternario in totum a bc de fg aequale est aggregato unitatis et trium sequentium pentagonorum.

Hoc modo m unitas transposita super a unitatem faciet binarium: qui cum quadratoto bc constituet planum numerum sub latitudine binarii et longitudine ternarii facientis 2um triangololum ab unitate. Deinde n ternarius transpositus super dicti plani longitudinem augebit celsitudinem dicti plani ad aequalitatem quadratoti de cum quo planum constituet sub latitudine ternarii et longitudine senarii, qui sequentem triangololum facit. Postremo o senarius transpositus super longitudinem dictam sibi parem, augendo plani celsitudinem ad aequalitatem quadratoti fg cum ipso quadratoto planum conficiet sub latitudine quaternarii et longitudine denarii, quod est aggregatum ex a bc de fg. Quam ob rem productum ex quaternario, quod est multitudo assumptorum numerorum, in totum81aggregatum ex a bc de fg, hoc est in triangololum collateralem quod est 10, consumat congeriem ex unitate, sequentibus tribus pentagonis compositam: et similiter in quotcumque numeris ab unitate ordinatis faciemus, semper concludetur82 columnam triangulam esse aequalem collaterali pentagonae pyramidi sicut demon [A:58r] strandum proponitur.

7a

187 Si propositi cuiuspiam numeri et83 numeri unitate maioris congeries multiplicetur in planum ab eisdem contentum: numerus ex multiplicatione productus erit sexcuplus ad aggregatum quadratorum ab unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive ordinatorum.

188 Esto propositus quicumque numerus a et numerus b unitate maior: quorum congeries c, planus vero sub ipsis ab contentus sit d. Et ex c in ipsum d fiat e. Dico quod e numerus sexcuplus est ad aggregatum quadrato quadratotorum ab unitate inclusive usque ad quadratotum ipsius a ordinatorum. Cum enim ex a in b fiat d iam per diffinitionem multiplicationis, erit sicut b ad unitatem sic utique d ad a. Sit itaque a duplus ipsius f. Atque g aggregatum ex quadratoto a et ex f. Sic enim d erit aggregatum ipsarum gf. Item sit h duplus ipsius b. Eritque ex aequa proportione, sicut h ad unitatem, sic utique d ad f. Et eversim, sicut h ad c sic d ad g. Sit ergo k84 planus ex g in h. Eritque per 15am sexti Euclidis k85 planus aequalis plano e qui sub cd continetur. Sed, ut ostensum fuit in 2a harum propositionum, ex b, quod est aggregatum ex a proposito numero et ex unitate, in g, quod fuit aggregatum ex quadrato ipsius a et ex f eius dimidio, producitur triplum aggregati quadratorum ab unitate inclusive usque ad quadratotum ipsius a, igitur ex h duplo ipsius b in g producetur sexcuplum praedicti quadratorum aggregati. Sexcuplus itaque erit k ad praedictum aggregatum quadratorum. Aequalis autem fuit ipsi k plano ipse e planus: et e igitur sexcuplus erit ad non semel dictum quadratorum aggregatum.

189 Quod fuit demonstrandum.

figura 9

190 Catanae kalendas decembris 1553.

[A:58v]

8

191 Tres numeri trianguli in ordine triangulorum immediate sumpti, atque coniuncti efficiunt triplum medii cum unitate iunctum.

192 Patet facillime, nam differentia, qua postremus trium talium triangulorum excedit86 secundum est unitate maior, quam differentia, qua secundus87 excedit primum. Et ideo aggregatum ex primo et postremo facit duplum secundi cum unitate. Unde et aggregatum ex tribus simul faciet triplum secundi cum unitate: sicut proponitur.

9

193 Omnis triangulus duplicatus et cum duobus praecedente et sequente triangololis88 coniunctus facit quadruplum sui cum unitate.

194 Sequitur ex praecedenti apertissime.

10

195 Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente triangololis coniunctus facit aggregatum duorum quadratorum collateralium medio et maximo ex dictis triangololis89.

196 Patet, nam ut ostendit Iordanus, duo collaterali et sequente90 trianguli faciunt quadratum maiori triangololo collateralem.

11

197 Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente triangololis coniunctus, facit duplum parte altera longioris maximo ex dictis triangololis collateralis cum91 unitate iunctum.

198 Nam cum ex antepraemissa, dictum duplum medii triangololi cum triangololis praecedente et sequente faciat quadruplum medii cum unitate: duplum autem medii constituat92 ipsum iam memoratum parte altera longiorem, ut ostendit Iordanus, sequitur iam apertissime id, quod proponitur.

figura 10

199

6
10   1
10   20
15   20

 
4193   4194

[A:59r] 12

200 Hexagonus aequilaterus conflatur ex aggregatione parte altera longioris95 et quadrati collateralium una cum quadrato immediate praecedenti.

201 Nam per praecedentem, duplum triangololi medii cum aggregato praecedentis et sequentis triangulorum facit duplum parte altera longioris maximo triangololo collateralis cum unitate iunctum. Per antepraemissam autem, facit aggregatum duorum quadratorum medio et maximo triangololo collateralium: igitur aggregatum horum duorum quadrato quadratotorum aequale erit aggregato ex dicto duplo96 parte altera longioris et unitate. Apponatur utrobique parte altera longior praedicto aequalis. Eritque aggregatum ex dictis duobus quadratis et ex parte altera longiore aequale triplo parte altera longioris cum unitate. Verum, ut antea demonstravimus in his arithmeticis, triplum huiusmodi parte altera longioris cum unitate iunctum facit hexagonum aequilaterum collateralem. Ergo et ipse hexagonus aequilaterus aequalis erit97 aggregato dictorum duorum quadratorum et dicti parte altera longioris. Sicut demonstrandum proponitur.

figura 11

202

Ergo et esagono centrale hexagonus ad graffa aperta rettangolo parte altera longiore
quadrato quadrato praedictis

13

203 Si fuerint quotcumque numeri ab unitate, et per unitatem crescentes: productus ex postremo in aggregatum ex postremo et unitate duplus erit ad omnium crescentium congeriem.

204 Patet [A:59v] quoniam ex tali multiplicatione, per diffinitionem fit numerus parte altera longior proxime sequens. Hic autem per demonstrata Iordani, duplus est ad triangulum suum praecedentem, hoc est ad congeriem propositorum crescentium numerorum. Constat ergo propositum.

14a

205 Columna triangula cum duplo sui trianguli coniuncta triplum facit collateralis triangololae pyramidis.

206 Hoc est, columna triangolola, cuius celsitudo excedit binario celsitudinem suae pyramidis, est ad ipsam pyramidem tripla. Esto a unitas, b binarius, c ternarius, d quaternarius, e quinarius, f senarius, g septenarius, itaque deinceps ad libitum. Unde, cum a sit unitas, erit, per diffinitionem ab alter ab unitate triangololus. Et abc sequens triangololus. Et abcd quartus triangololus. Et abcde quintus triangololus. Et sic successive. Esto igitur l postremus ex his quinque in proposito triangolotriangololis. Numerus autem g unitate maior, quam f. Et ideo binario maior, quam e. Atque ex g in ipsum l fiat p. Demonstrandum est quod p quae iam est columna triangolola, cuius basis triangololus l, binario excelsior pyramide triangolola, quam consummant quinque triangolotriangololi98 lhfca cuius basis est idem triangololus l, tripla est eiusdem pyramidis.

figura 12

207 Erunt enim numeri gfedcb singuli [A:60r] aggregata duorum extremorum, hoc est unitatis et postremi constituentium singulos triangololos qui sunt lhfca. Utpote g aggregatum ex af. Et f aggregatum ex ae. Et e aggregatum ex ad. Et d aggregatum ex ac. Et c aggregatum ex ab. Itaque ex f in h fiat n. Item ex e in f fiat m. Item ex d in c fiat k. Atque ex c in a fiat ipse c quoniam a est unitas.

208 Ostendamque quod ipse p excedit99 ipsum n in triplo ipsius l. Sic. Per praecedentem, ex f qui aggregatur ex a unitate et ex extremo ipsorum abcde ducto in ipsum extremum e (qui est differentia ipsorum hl per diffinitionem triangolotriangololorum) producit duplum aggregati ex ipsis abcde, hoc est ipsius l qui triangololus est, ex dictis abcde aggregatus. Igitur in tali duplo ipsius l, numerus qui fit ex f in l excedit ipsum n productum iam ex f in h. Verum, qui fit ex g in l scilicet ipse p excedit eum, qui ex f in l, in ipso numero l quandoquidem fg differunt unitate. Ergo, qui fit ex g in l scilicet p excedit ipsum n qui ex f in h, in triplo ipsius l. Eodemque processu ostendam, quod excessus n quo superat ipsum m triplus erit ipsius h quodque excessus m super k triplus erit ipsius f quodque excessus ipsius k super c triplus erit ipsius c. Nam c quia ternarius, triplus tandem per se constat esse ad a unitatem. Et perinde ipse p qui constat ex aggregatione dictorum quatuor excessum et ex c triplus erit [A:60v] ad aggregatum ex ipsis lhfca. Et similiter procedemus in quotcumque propositis numeris eodem processu dispositis. Quod erat demonstrandum.

209

a ad 1 b ad 2 c ad 3 d ad 4 e ad 5 f ad 6
a ad 1 b ad 2 c ad 3 d ad 4 e ad 5
a ad 1 b ad 2 c ad 3 d ad 4
a ad 1 b ad 2 c ad 3
a ad 1 b ad 2 c
a ad 1

210

g ad 7 l ad 15 p ad 105
f ad 6 h ad 10 n ad 60
e ad 5 f ad 6 m ad 30
d ad 4 c ad 3 k ad 12
c ad 3 a ad 2 c ad 3
b ad 2

15a

211 Rursus, aliterque demonstrare quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta triplum efficit suae quadratae pyramidis.

212 Esto cubus a, quadratus eius b et triangololus c, quadrata pyramis d.

213 Dico quod cumulus ex abc factus est triplus ad ipsum d. Quod sic patet. Pyramis d constat ex sua pyramide triangolola collaterali quae sit e et ex pyramide triangolola immediate praecedenti quae sit f ut constitit. Itaque triplum ipsius d aequale erit aggregato ex triplo ipsius e triploque ipsius f. Sit g triangololus ipsi c triangololo aequalis: et h columna triangolola100 eidem collateralis: itemque sint triangolotriangololi proxime inferiores et invicem aequales, ipsi kl, et eorum columnis collateralis, proxime scilicet inferior pyramide h et collateralis pyramidi triangololae f. Eritque per praecedentem, columna triangolola h cum duobus suis triangulis cg simul aequalis triplo pyramidis triangololae e. Nec non [A:61r] columna triangolola m pariter cum duobus suis triangulis kl similiter triplo suae pyramidis triangololae f aequalis: verum ut in primordiis arithmeticae patuit, cubus a aequalis est aggregato columnarum hm et trianguli k. Quadratus autem b ex composito triangulorum gl conflatur. Igitur si pro columnarum hm et triangulorum gkl aggregato sumatur cubus a cum quadratoto b iam erit aggregatum ex cubo a quadratoque b trianguloque101 c aequale aggregato columnarum102 hm ac triangulorum cgkl. Sed huiusmodi aggregatum columnarum hm et triangulorum cgkl aequale fuit aggregato ex triplo pyramidis e triploque pyramidis f et103 perinde aequale triplo quadratae pyramidis d. Ergo et triplum quadratae pyramidis d aequale erit cumulo, qui ex cubo a quadrato b trianguloque c constabat. Sicut erat demonstrandum.

figura 13

214 Ecce multo brevius ac facilius in praesenti propositione ostensum est id, quod in prima propositione fuerat ex traditione Archimedis demonstratum. Rursum igitur ex hac possunt demonstrari 2a et 3a propositiones, quae per primam demonstratae sunt: et sequentes 4a et 5a ex his postea demonstrate. Item et 7a quae per 2am. Quam ob rem 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a et praesens 15a essent in principio ponendae. Quoniam concatenatae sunt in ordine de [A:61v] monstrandi. Sic in hoc et in aliis duobus arithmeticae nostrae libellis, quos antea scripseramus, supplevimus ea, quae Boetius et Iordanus circa formas numerarias omiserant.

215 Catanae 6 novembris 1553.

Inizio della pagina
->