[A:53r] 142 Superest nunc ostendere nonnulla, quae dudum nos ostensurum promisimus.

1^a

143 Horum primum est, quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta facit triplum suae quadratae pyramidis.

144 Ut si ponatur numeri abcdefgh quorum h sit unitas, g binarius, f ternarius et sic deinceps per unitatis crementum usque ad a maximum. Deinde ipsis bcdefgh resarciantur excessus singuli singulis, quibus scilicet singuli ab ipso a maximo exceduntur. Hoc est ipsi b apponatur i unitas; ipsi c ipse k binarius; et caeteri lmnxo⁵¹ caeteris per unitatis crementum successive⁵² augmentati. Sic ib kc ld me nf xg oh singuli fient ipsi a aequales.

145 Iam ergo, quoniam quot sunt unitates in a numero totidem sunt numeri a bi ck dl em fn gx ho. Iam horum ^ti simul conficiunt cubum, cuius latus est a. Et quoniam hgfedcba⁵³ ab ipsam h unitate et per unitatis crementum crescunt, ideo ipsorum congeries, quae iam fit ex h unitate in ipsorum hgfedcba congeriem, est triangulus, cuius latus ipse numerus a. Item ^ti numeri ipsorum abcdefgh conficiunt pyramidem quadratam, cuius basis est ipsius a. Licet ergo hic consyderare quatuor⁵⁴ species collaterales numerorum, scilicet cubum quod est aggregatum ipsorum a bi ck dl em fn gx ho, quadratum ipsius a, triangulum, quod est aggregatum ipsorum abcdefgh, nec non pyramidem quadratam, quod est aggregatum ex ^tis ipsorum abcdefgh cuius basis est ipsius a. Quae quatuor numerorum species procreantur ex latere a et ideo collaterales vocantur: quem [A:53v] admodum ex earum diffinitionibus constat, et per tabellam superius expositam apparet. Demonstrandum igitur est, quod cubus, quadratus et triangulus praedicti simul coniuncti semper conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae: hoc est, quod aggregatum ex a ib kc ld me nf xg oh cum ^to ipsius a et cum aggregato ipsorum abcdefgh simul facit semper triplum aggregati ex ipsis ^tis ipsorum abcdefgh, hoc est quod

146

ti ex a ib kc ld me nf xg oh cubus simul sunt triplum aggregati torum abcdefgh pyramidis scilicet tae tus qui ex a quadratus qui ex h in totum abcdefgh triangulus

147 Quae demonstratio sic procedit.

148 In primis per 4^am secundi Elementorum Euclidis

149

bi55 b i bi aequale est. kc k c kc aequale est. ld l d ld aequale est. me m e me aequale est. nf n f nf aequale est. xg x g xg aequale est. oh o h oh aequale est.

150 Apponatur ergo utrobique a cum h in totum abcdefgh. Eritque

151

totum ... toti ... aequale a a   per comunem conceptum bi b i bi kc k c kc ld l d ld me m e me nf n f nf xg x g xg oh o h oh h in totum h in totum abcdefgh abcdefgh

152

[A:54r] 153 Sed iam

154

a sunt singula singulis aequalia et ideo simul sunt duplum ad a simul sumpta. b o b c x c d n d e m e f l f g k g h i h

155 Superest ergo demonstrare quod

156

bi simul sumpta sunt aequalia a simul sumptis. kc b ld c bi d me e nf f xg g oh h h in totum abcdefgh

157 Quod sic demonstrabitur. Nam

158

a aequale est h et aggregati ex a duploque ipsarum bcdefgh b aequale est h et aggregati ex b duploque ipsarum cdefgh c aequale est h et aggregati ex c duploque ipsarum defgh d aequale est h et aggregati ex d duploque ipsarum efgh e aequale est h et aggregati ex e duploque ipsarum fgh f aequale est h et aggregati ex f duploque ipsarum gh g aequale est h et aggregato ex g duploque ipsius h h aequale h.

159 Verum dicta septem ex h dictisque aggregatis cum h simul sunt aequalia octo quae sub h ipsaque a, tripla b, quincupla c, septupla d, nonupla e, undecupla f, [A:54v] tredecupla g atque quindecupla h continentur. Et deinde

160

Octo quae sub h ipsaque a simul aequalia sunt 7 lis quae sub h duplaque b tripla b quadrupla c quincupla c sexcupla d septupla d octupla e nonupla e decupla f undecupla f duodecupla g tredecupla g quatuordecupla h una cum quindecupla h h et aggregati ex abcdefgh

161 Dicta vero 7 ^la sub h dictisque multiplicibus una cum sub h dictoque aggregato aequalia sunt his scilicet bi kc ld me nf xg oh una cum h et aggregati ex abcdefgh.

162 Quandoquidem

163

bi aequale est h duplaeque b kc aequale est h quadruplaeque c ld aequale est h sexcuplaeque d me aequale est h octuplaeque e nf aequale est h decuplaeque f xg aequale est h duodecuplaeque g oh aequale est h quatuordecuplaeque h

[A:55r] 164 Igitur octo⁵⁶ quadrati, qui ex octo⁵⁷ numeris abcdefgh, simul sumpti aequales erunt dictis septem rectangulorum paribus sub bi kc ld me nf xg oh numeris comprehensis, una cum ex h et aggregato ipsorum abcdefgh. Quod supererat demonstrandum. Quam ob rem cubus, quadratus et ^lus praedicti simul coniuncti conficiunt triplum pyramidis quadratae praedictae. Et id idem de omni alio cubo, quadrato, triangulo et pyramide quadrata collateralibus ostendetur eodem argumentandi processu: quemadmodum demonstrandum proponebatur.

165 Praemissa demonstratio desumpta est ex 10^a propositione Archimedis de Spiralibus.

2

166 Praeterea, si quis multiplicet aggregatum ex proposito quopiam numero et unitate in aggregatum ex quadrato numeri propositi et ex dimidio eiusdem propositi: conficiet ex tali multiplicatione triplum aggregati quadratorum ab [A:55v] unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive: hoc est triplum quadratae pyramidis proposito numero collateralis.

167 Quod sic ostendam. In⁵⁸ praemissa descriptione sit propositus numerus a. Aio quod aggregatum ex ah multiplicatum in congeriem ex quadrato ipsius a dimidioque eiusdem a producit triplum pyramidis^{59 tae} collateralis. Namque cum a ductus in a faciat cubum ipsius a, iam ah totus in ^tum a faciet aggregatum ex cubo et quadrato talibus. Cumque per regulam progressionis ha totus in dimidium ipsius a faciat aggregatum ipsorum abcdefgh hoc est triangulum collateralem ipsius a. Propterea et ha totus in aggregatum ex ^to a dimidioque eiusdem a producet aggregatum ex cubo, quadrato, et triangulo praedictis: fuit autem, per praecedentem, id aggregatum triplum pyramidis quadratae praedictae. Igitur ah totus multiplicatus in aggregatum ex ipsius a et ex eiusdem a dimidio producit triplum pyramidis praedictae collateralis, hoc est triplum cumuli ex ^tis abcdefgh numerorum coniunctis confecti. Et hoc fuit demonstrandum.

[A:56r] 3

168 Nunc ostendam quod columna pentagona una cum duplo quadrati collateralis semper efficit triplum suae pyramidis pentagonae.

169 Namque numerus pentagonus constat ex ^to et immediate praecedenti triangulo. Et similiter pyramis pentagona conflatur ex pyramide quadrata et pyramide triangula immediate praecedenti. Item columna pentagona constat ex columna quadrata seu cubo collaterali⁶⁰ et ex columna triangula et ^lo immediate praecedentibus. Cumque columna quadrata seu cubus cum ^to et ^lo collateralibus una faciat triplum suae pyramidis quadratae (per antepraemissam), itemque columna triangula cum duplo trianguli collateralis coniuncta efficiat triplum suae pyramidis ^lae, ut alibi ostensum est. Atque ideo columna illa, triangula⁶¹ quae unum secum ^lum assumpserat ad constructionem columnae pentagonae, hic unum tantum, sibi postulet ^lum ad consummandum triplum suae pyramidis. Qui quidem ^lus iunctus cum ^lo sequenti, (⁶² quem scilicet sibi cubus assumpserat cum ^to ad integrandum triplum suae pyramidis ^tae) conficiat ^tum aequalem dicto; propterea sequitur, ut columna pentagona cum duplo quadrati collateralis coniuncta semper faciat triplum suae pyramidis collateralis: sicut proponitur demonstrandum.

170

175 columna pentagona constat ex columna ta 12563 seu cubo qui cum suis to 25 facit triplum pyramidis tae 55 pyramis pentagona 75 lo 15 columna la 4064 et lo quae cum alio lo 1065 facit triplum pyramidis lae 20

171

Sed lum 15 faciunt alium tum 25 lum 10

172 Igitur columna pentagona 175⁶⁶ cum duplo ^ti 25, hoc est cum 50, facit triplum pyramidis pentagonae 75.

173 Quod erat demonstrandum.

[A:56v]

4

174 Subiungemus et illud, quod demonstrandum simul promiseramus, quod columna hexagona prima cum collateralis quadrati duplo et cum praecedenti ^lo iuncta, facit triplum hexagonae suae pyramidis.

175 Nam numerus hexagonus primus constat ex pentagono collaterali et ^lo praecedenti. Et similiter pyramis hexagona prima constat ex pyramide pentagona collaterali et pyramide ^la praecedenti. Item columna hexagona prima conflatur ex columna pentagona collaterali et ex columna ^la cum ^lo praecedentibus. Cumque per praecedentem, columna pentagona cum duplo ^ti collateralis faciat triplum suae pyramidis ^nae, columna vero ^la, ut alibi ostensum est, cum duplo sui ^li efficiat triplum suae pyramidis: propterea semper necesse est, ut columna hexagona praedicta cum duplo ^ti praedicti et uno ^lo (nam alium ^lum assumpserat sibi columna ^la ad construendam columnam ^nam) coniuncta perficiat triplum suae pyramidis hexagonae sicut proponitur demonstrandum.

176

Columna 22567 columna na quae cum 25 facit triplum pyramidis 7568 pyramis na 9569 25 columna la 4070 cum lo 1071 quae cum alio 1072 facit triplum pyramidis lae 2073

177 Igitur et 178 columna 225⁷⁴ cum 25 25⁷⁵ et ^lo 10⁷⁶ faciet triplum pyramidis ^ae 95⁷⁷.

179 Quod erat demonstrandum.

5

180 Hinc sequitur ut eadem columna hexagona prima cum suo hexagono et collaterali ^lo coniuncta faciat idem triplum suae pyramidis.

181 Namque cum ipse hexagonus constet ex collaterali ^to binisque praecedentibus ^is, atque ^lorum horum unus cum ^lo collaterali memorato conficiat dictum ^tum. Iam dictus hexagonus una⁷⁸ cum collaterali dicto ^lo aequabit aggregatum ex dicti ^ti duplo dictorumque praece [A:57r] dentium ^lorum uno: sed, per praecedentem, columna hexagona, de qua loquimur, una cum dicti ^ti duplo, ac dictorum triangulorum uno coniuncta conflabat triplum suae pyramidis. Igitur et eadem hexagona columna cum dicto suo hexagono, dictoque collaterali ^lo simul posita non minus, integrabit dictum memoratae pyramidis suae triplum, quod erat ostendendum.

182

Hexagonus 45 25 10 10 25 Triangulus 15

183 Hinc constat aperte propositum.

6

184 Columnam vero triangulam semper esse collaterali pentagonae pyramidi aequalem haud difficulter demonstrare possumus.

185 Exponatur ab unitate numeri quotcumque et per unitatem crescentes ordinatim scilicet a unitas, bc binarius, de ternarius, fg quaternarius et deinceps eodem ordine quotlibet: et ex ipsis bc de fg procreentur eorum quadrati. Et unitates ghkl faciant altitudinem postremi quadrati. Item super quadratos bc de fg applicentur ^li praecedentes: hoc est ^to bc unitas m⁷⁹: ^to de ternarius n, quadrato fg senarius o et deinceps alii sequentibus. Iam enim ex diffinitione bc ^tus cum m unitate facit pentagonum ab unitate 2^um, bc ^tus cum n ^lo pentagonum sequentem, fg ^tus cum o ^lo pentagonum sequentem et deinceps, alii alios.

186 Et sicut a est ipse m quia uterque unitas, ita n constat ex aggregato a bc; triangulus autem o ex aggregato a bc de; triangulus quoque sequens in ordine, ex [A:57v] aggregato ipsorum a bc de fg. Unde ex diffinitione ex multitudine horum numerorum, in postremum ^lum producitur columna ^la, hoc est in hoc exemplo, ex quaternario (cum quatuor sint numeri pentagoni expositi) in aggregatum ipsorum a bc de, fg⁸⁰ quod est ^lus quaternario collateralis, fiet columna ^la; et ex aggregatione unitatis et trium sequentium pentagonorum construetur pyramis pentagona dictae columnae collateralis. Demonstrandum ergo est quod productum ex quaternario in totum a bc de fg aequale est aggregato unitatis et trium sequentium pentagonorum.

Hoc modo m unitas transposita super a unitatem faciet binarium: qui cum ^to bc constituet planum numerum sub latitudine binarii et longitudine ternarii facientis 2^{um lum} ab unitate. Deinde n ternarius transpositus super dicti plani longitudinem augebit celsitudinem dicti plani ad aequalitatem ^ti de cum quo planum constituet sub latitudine ternarii et longitudine senarii, qui sequentem ^lum facit. Postremo o senarius transpositus super longitudinem dictam sibi parem, augendo plani celsitudinem ad aequalitatem ^ti fg cum ipso ^to planum conficiet sub latitudine quaternarii et longitudine denarii, quod est aggregatum ex a bc de fg. Quam ob rem productum ex quaternario, quod est multitudo assumptorum numerorum, in totum⁸¹aggregatum ex a bc de fg, hoc est in ^lum collateralem quod est 10, consumat congeriem ex unitate, sequentibus tribus pentagonis compositam: et similiter in quotcumque numeris ab unitate ordinatis faciemus, semper concludetur⁸² columnam triangulam esse aequalem collaterali pentagonae pyramidi sicut demon [A:58r] strandum proponitur.

7^a

187 Si propositi cuiuspiam numeri et⁸³ numeri unitate maioris congeries multiplicetur in planum ab eisdem contentum: numerus ex multiplicatione productus erit sexcuplus ad aggregatum quadratorum ab unitate usque ad quadratum propositi numeri inclusive ordinatorum.

188 Esto propositus quicumque numerus a et numerus b unitate maior: quorum congeries c, planus vero sub ipsis ab contentus sit d. Et ex c in ipsum d fiat e. Dico quod e numerus sexcuplus est ad aggregatum ^torum ab unitate inclusive usque ad ^tum ipsius a ordinatorum. Cum enim ex a in b fiat d iam per diffinitionem multiplicationis, erit sicut b unitatem sic utique d a. Sit itaque a duplus ipsius f. Atque g aggregatum ex ^to a et ex f. Sic enim d erit aggregatum ipsarum gf. Item sit h duplus ipsius b. Eritque ex aequa proportione, sicut h unitatem, sic utique d f. Et eversim, sicut h c sic d g. Sit ergo k⁸⁴ planus ex g in h. Eritque per 15^am sexti Euclidis k⁸⁵ planus aequalis plano e qui sub cd continetur. Sed, ut ostensum fuit in 2^a harum propositionum, ex b, quod est aggregatum ex a proposito numero et ex unitate, in g, quod fuit aggregatum ex ipsius a et ex f eius dimidio, producitur triplum aggregati quadratorum ab unitate inclusive usque ad ^tum ipsius a, igitur ex h duplo ipsius b in g producetur sexcuplum praedicti quadratorum aggregati. Sexcuplus itaque erit k ad praedictum aggregatum quadratorum. Aequalis autem fuit ipsi k plano ipse e planus: et e igitur sexcuplus erit ad non semel dictum quadratorum aggregatum.

189 Quod fuit demonstrandum.

190 Catanae kalendas decembris 1553.

[A:58v]

8

191 Tres numeri trianguli in ordine triangulorum immediate sumpti, atque coniuncti efficiunt triplum medii cum unitate iunctum.

192 Patet facillime, nam differentia, qua postremus trium talium triangulorum excedit⁸⁶ secundum est unitate maior, quam differentia, qua secundus⁸⁷ excedit primum. Et ideo aggregatum ex primo et postremo facit duplum secundi cum unitate. Unde et aggregatum ex tribus simul faciet triplum secundi cum unitate: sicut proponitur.

9

193 Omnis triangulus duplicatus et cum duobus praecedente et sequente ^lis88 coniunctus facit quadruplum sui cum unitate.

194 Sequitur ex praecedenti apertissime.

10

195 Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente ^lis coniunctus facit aggregatum duorum quadratorum collateralium medio et maximo ex dictis ^lis89.

196 Patet, nam ut ostendit Iordanus, duo collaterali et sequente⁹⁰ trianguli faciunt quadratum maiori ^lo collateralem.

11

197 Omnis triangulus duplicatus cum duobus praecedente et sequente ^lis coniunctus, facit duplum parte altera longioris maximo ex dictis ^lis collateralis cum⁹¹ unitate iunctum.

198 Nam cum ex antepraemissa, dictum duplum medii ^li cum ^lis praecedente et sequente faciat quadruplum medii cum unitate: duplum autem medii constituat⁹² ipsum iam memoratum parte altera longiorem, ut ostendit Iordanus, sequitur iam apertissime id, quod proponitur.

199

6 10   1 10   20 15   20   4193   4194

[A:59r] 12

200 Hexagonus aequilaterus conflatur ex aggregatione parte altera longioris⁹⁵ et quadrati collateralium una cum quadrato immediate praecedenti.

201 Nam per praecedentem, duplum ^li medii cum aggregato praecedentis et sequentis triangulorum facit duplum parte altera longioris maximo ^lo collateralis cum unitate iunctum. Per antepraemissam autem, facit aggregatum duorum quadratorum medio et maximo ^lo collateralium: igitur aggregatum horum duorum ^torum aequale erit aggregato ex dicto duplo⁹⁶ parte altera longioris et unitate. Apponatur utrobique parte altera longior praedicto aequalis. Eritque aggregatum ex dictis duobus quadratis et ex parte altera longiore aequale triplo parte altera longioris cum unitate. Verum, ut antea demonstravimus in his arithmeticis, triplum huiusmodi parte altera longioris cum unitate iunctum facit hexagonum aequilaterum collateralem. Ergo et ipse hexagonus aequilaterus aequalis erit⁹⁷ aggregato dictorum duorum quadratorum et dicti parte altera longioris. Sicut demonstrandum proponitur.

202

Ergo et hexagonus parte altera longiore praedictis

13

203 Si fuerint quotcumque numeri ab unitate, et per unitatem crescentes: productus ex postremo in aggregatum ex postremo et unitate duplus erit ad omnium crescentium congeriem.

204 Patet [A:59v] quoniam ex tali multiplicatione, per diffinitionem fit numerus parte altera longior proxime sequens. Hic autem per demonstrata Iordani, duplus est ad triangulum suum praecedentem, hoc est ad congeriem propositorum crescentium numerorum. Constat ergo propositum.

14^a

205 Columna triangula cum duplo sui trianguli coniuncta triplum facit collateralis ^lae pyramidis.

206 Hoc est, columna ^la, cuius celsitudo excedit binario celsitudinem suae pyramidis, est ad ipsam pyramidem tripla. Esto a unitas, b binarius, c ternarius, d quaternarius, e quinarius, f senarius, g septenarius, itaque deinceps ad libitum. Unde, cum a sit unitas, erit, per diffinitionem ab alter ab unitate ^lus. Et abc sequens ^lus. Et abcd quartus ^lus. Et abcde quintus ^lus. Et sic successive. Esto igitur l postremus ex his quinque in proposito ^lis. Numerus autem g unitate maior, quam f. Et ideo binario maior, quam e. Atque ex g in ipsum l fiat p. Demonstrandum est quod p quae iam est columna ^la, cuius basis ^lus l, binario excelsior pyramide ^la, quam consummant quinque ^li98 lhfca cuius basis est idem ^lus l, tripla est eiusdem pyramidis.

207 Erunt enim numeri gfedcb singuli [A:60r] aggregata duorum extremorum, hoc est unitatis et postremi constituentium singulos ^los qui sunt lhfca. Utpote g aggregatum ex af. Et f aggregatum ex ae. Et e aggregatum ex ad. Et d aggregatum ex ac. Et c aggregatum ex ab. Itaque ex f in h fiat n. Item ex e in f fiat m. Item ex d in c fiat k. Atque ex c in a fiat ipse c quoniam a est unitas.

208 Ostendamque quod ipse p excedit⁹⁹ ipsum n in triplo ipsius l. Sic. Per praecedentem, ex f qui aggregatur ex a unitate et ex extremo ipsorum abcde ducto in ipsum extremum e (qui est differentia ipsorum hl per diffinitionem ^lorum) producit duplum aggregati ex ipsis abcde, hoc est ipsius l qui ^lus est, ex dictis abcde aggregatus. Igitur in tali duplo ipsius l, numerus qui fit ex f in l excedit ipsum n productum iam ex f in h. Verum, qui fit ex g in l scilicet ipse p excedit eum, qui ex f in l, in ipso numero l quandoquidem fg differunt unitate. Ergo, qui fit ex g in l scilicet p excedit ipsum n qui ex f in h, in triplo ipsius l. Eodemque processu ostendam, quod excessus n quo superat ipsum m triplus erit ipsius h quodque excessus m super k triplus erit ipsius f quodque excessus ipsius k super c triplus erit ipsius c. Nam c quia ternarius, triplus tandem per se constat esse ad a unitatem. Et perinde ipse p qui constat ex aggregatione dictorum quatuor excessum et ex c triplus erit [A:60v] ad aggregatum ex ipsis lhfca. Et similiter procedemus in quotcumque propositis numeris eodem processu dispositis. Quod erat demonstrandum.

209

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 a 1 b 2 c a 1

210

g 7 l 15 p 105 f 6 h 10 n 60 e 5 f 6 m 30 d 4 c 3 k 12 c 3 a 2 c 3 b 2

15^a

211 Rursus, aliterque demonstrare quod cubus sive quadrata columna cum quadrato et triangulo collateralibus coniuncta triplum efficit suae quadratae pyramidis.

212 Esto cubus a, quadratus eius b et ^lus c, quadrata pyramis d.

213 Dico quod cumulus ex abc factus est triplus ad ipsum d. Quod sic patet. Pyramis d constat ex sua pyramide ^la collaterali quae sit e et ex pyramide ^la immediate praecedenti quae sit f ut constitit. Itaque triplum ipsius d aequale erit aggregato ex triplo ipsius e triploque ipsius f. Sit g ^lus ipsi c ^lo aequalis: et h columna ^la100 eidem collateralis: itemque sint ^li proxime inferiores et invicem aequales, ipsi kl, et eorum columnis collateralis, proxime scilicet inferior pyramide h et collateralis pyramidi ^lae f. Eritque per praecedentem, columna ^la h cum duobus suis triangulis cg simul aequalis triplo pyramidis ^lae e. Nec non [A:61r] columna ^la m pariter cum duobus suis triangulis kl similiter triplo suae pyramidis ^lae f aequalis: verum ut in primordiis arithmeticae patuit, cubus a aequalis est aggregato columnarum hm et trianguli k. Quadratus autem b ex composito triangulorum gl conflatur. Igitur si pro columnarum hm et triangulorum gkl aggregato sumatur cubus a cum ^to b iam erit aggregatum ex cubo a quadratoque b trianguloque¹⁰¹ c aequale aggregato columnarum¹⁰² hm ac triangulorum cgkl. Sed huiusmodi aggregatum columnarum hm et triangulorum cgkl aequale fuit aggregato ex triplo pyramidis e triploque pyramidis f et¹⁰³ perinde aequale triplo quadratae pyramidis d. Ergo et triplum quadratae pyramidis d aequale erit cumulo, qui ex cubo a quadrato b trianguloque c constabat. Sicut erat demonstrandum.

214 Ecce multo brevius ac facilius in praesenti propositione ostensum est id, quod in prima propositione fuerat ex traditione Archimedis demonstratum. Rursum igitur ex hac possunt demonstrari 2^a et 3^a propositiones, quae per primam demonstratae sunt: et sequentes 4^a et 5^a ex his postea demonstrate. Item et 7^a quae per 2^am. Quam ob rem 8^a 9^a 10^a 11^a 12^a 13^a 14^a et praesens 15^a essent in principio ponendae. Quoniam concatenatae sunt in ordine de [A:61v] monstrandi. Sic in hoc et in aliis duobus arithmeticae nostrae libellis, quos antea scripseramus, supplevimus ea, quae Boetius et Iordanus circa formas numerarias omiserant.

215 Catanae 6 novembris 1553.