118 a. Radices, quae ab unitate et per continuum unitatis crementum procedunt, in quibus nullus non numerus occurrit, et a quibus tanquam radicibus omnes numerorum species propagantur.

119 b. Impares numeri, qui ab unitate per continuum binarii crementum fiunt sive ex aggregatione³³ radicis collateralis cum praecedenti, qui digniores, quam pares sunt, numero enim deus impare gaudet. Hi dimidium non habent: et in his primi includuntur, quos nullus, praeter unitatem, numerus metitur. Et impariter impares.

120 c. Pares numeri a binario et per binarium crescentes. Qui per aequalia secantur. Et ad foeminas pertinent, sicut impares ad mares. In his pariter pares includuntur, qui per aequalia iterum atque iterum secantur usque ad unitatem. Item pariter impares et impariter pares.

121 d. Trianguli a triangula forma denominati, qui per continuam radicum super aggregationem conflantur. Et ideo ex regula pro [A:51r] gressionum, singuli ex aggregato collateralis radicis cum unitate in dimidium multitudinis radicum ab unitate usque ad dictam collateralem, multiplicato generantur.

122 e. Quadrati a quadrata forma dicti, qui tribus modis procreari possunt, aut scilicet ex radicibus collateralibus in se ductis, vel ex accumulatione successiva imparium ab³⁴ unitate usque ad collateralem, vel ex coniunctione trianguli collateralis cum ^lo immediate praecedenti. His adde quartum modum, qui a secundo per progressionis regulam ordinis. Fit enim omnis quadratus ex aggregato collateralis imparis cum unitate, sive ex immediate sequenti pari (quod idem est) multiplicato in dimidium multitudinis imparium ab unitate ad³⁵ dictum collateralem.

123 f. Parte altera³⁶ longiora fiunt ex ductu collateralis radicis in radicem immediate praecedentem. Sive ex duplato triangulo immediate praecedenti. Ennae.³⁷ Sive³⁸ ex praecedenti ^to cum sua radice.

124 g. Pentagoni a quinquangula specie dicti, fiunt ex coniunctione quadrati collateralis cum immediate praecedenti triangulo. Namque triangulus lateri quadrati applicatus addit angulum et de quadrangulo quinquangulum facit.

125 h. Hexagoni primi, scilicet non aequianguli, fiunt ex quadrato collaterali duploque immediate praecedentis trianguli: vel ex pentagono collaterali et immediate praecedenti/////////// triangulo: quod idem est.

126 Vel ex ductu radicum in impares. Motucae. Sicut demonstrabimus non legitur supra.³⁹

127 i. Hexagoni secundi, scilicet aequianguli fiunt tribus modis videlicet ex collaterali parte altera longiori triplicato et cum unitate coniuncto. Ex immediate praecedenti triangulo sexcuplicato <cum radice collaterali sexcuplicata> et cum unitate coniuncto: qui modus sequitur ex primo. Unde sequitur⁴⁰ ut ex ^la pyramide sexcuplicata et cum radice coniuncta fiat radicis ipsius cubus.

128 Messanae kalendas martis 1556.

129 Ex⁴¹ collaterali hexagono non aequiangulo coniuncto cum quadrato immediate praecedenti. Sicut nos in Arith [A:51v] meticis nostris ostendimus.

130 k. Cubi, seu columnae quadratae, seu pyramides hexagonae aequiangulae qui fiunt ex ductu radicum in suos quadratos. Sive ex continua per ordinem aggregatione aequiangulorum hexagonorum: sicut nos in arithmeticis nostris demonstravimus: sive ex aggregatione unius, binorum, trium, quatuor et deinceps imparium numerorum per ordinem: quod Iordanus optime demonstrat. Vel ex pyramide hexagona non aequiangula et immediate praecedenti quadrata pyramide. Sicut hexagonus aequiangulus fiebat ex coniunctione hexagoni non aequianguli cum immediate praecedenti quadrato. Item hi cubi sive ^tae columnae cum quadrato et triangulo collateralibus faciunt triplum suarum quadratarum pyramidum: ut mox in hoc quaternione demonstrabimus. Item fiunt ex columna ^la collaterali et praecedenti cum triangulo <praecedenti>. Sicut bases.⁴²

131 l. Pyramides triangulae fiunt ex successiva triangulorum ab unitate coacervatione. Sicut reliquae pyramides colligi ex earum formis planis aggregatis consueverunt.

132 m. Pyramides quadratae, ex successiva quadratorum ab unitate accumulatione. Vel ex duabus triangulis pyramidibus coniunctis collaterali videlicet et immediate praecedenti. Sicut bases quadratae fiebant ex duobus triangulis.

133 n. Columnae triangulae fiunt ex ductu radicum in triangulos: quae cum duplo collateralis trianguli positae faciunt triplum suarum pyramidum triangularum. Suntque (quod mirum est) singulae singulis collateralibus pentagonis pyramidibus aequales, ut mox infra ostendemus.

134 o. Columnae pentagonae fiunt ex ductu radicum in pentagonos. Item fiunt ex cubo collaterali una cum imme [A:52r] diate praecedentibus triangula columna et triangulo. Sicut basis pentagona fiebat ex collaterali quadrato cum immediate praecedenti ^lo. Item columnae pentagonae cum duplo collateralis quadrati iunctae conficiunt triplum suarum pyramidum pentagonarum: ut postea ostendemus.

135 p. Pyramides hexagonae primae scilicet non aequiangulae fiunt ex ordinata ab unitate primorum hexagonorum cumulatione, ut moris est in pyramidibus. Vel ex quadrata pyramide collaterali⁴³ cum duplo immediate praecedentis triangulae pyramidis. Sicut hexagona huius pyramidis basis fiebat iam ex quadrato collaterali duploque immediate praecedentis trianguli. Vel ex⁴⁴ pyramide collaterali et pyramide praecedenti sicut bases. Viz<inii> 19 d<ecembris> ⁴⁵ .

136 q. Columnae hexagonae primae hoc est non aequiangulae fiunt ex ductu radicum in hexagonos primos. Item conflantur ex columna pentagona collaterali cum immediate praecedentibus triangula columna et triangulo. Sicut iam hexagona huius columnae basis ex collaterali pentagono et immediate praecedenti triangulo conflabatur. Item columnae hexagonae primae cum collaterali hexagono suo⁴⁶ et collaterali triangulo compositae faciunt triplum suarum pyramidum hexagonarum: sive, quod idem est, columnae hexagonae primae cum duplo quadrati collateralis et immediate praecedenti ^lo consummare possunt praedictum triplum.Ut infra demonstrabimus.

137 r. Pyramides pentagonae fiunt ex successiva accumulatione pentagonorum, ut fieri suevit⁴⁷ in pyramidibus. Sive ex quadrata pyramide et immediate praecedenti triangula pyramide. Quemadmodum pentagona basis fiebat ex quadrato et immediate praecedenti ^lo. Suntque aequales columnis ^lis.

138 [A:52v] s. Columnae hexagonae secundae hoc est aequiangulae fiunt ex ductu radicum in hexagonos ipsos secundos. Procreantur duobus⁴⁸ etiam aliis modis, qui sequuntur ex duobus postremis modis hexagoni aequianguli faciliter demonstrati: ex modo siquidem secundo, poterit columna haec hexagona ex immediate praecedentium columnae triangulae suique trianguli aggregato sexcuplicato atque cum radice collaterali coniuncto. Ex modo autem tertio talis columna conflabitur ex collaterali columna hexagona prima cum immediate praecedentibus cubo ac quadrato coniuncta. Item columna talis una cum collateralibus hexagono aequiangulo et impari semper conflabit triplum suae pyramidis hoc est collateralis cubi: quod nos in Arithmeticis nostris pulcherrime demonstravimus.

139 t. Perfecti numeri fiunt ex postremo pariter parium ab unitate dispositorum multiplicato in aggregatum eorumdem. Hac tamen conditione, ut tale aggregatum sit numerus primus. Ut Euclides in postrema 9ⁱ Elementorum docuit ac demonstravit.

140 Item cuborum ab unitate ordinatorum aggregatum aequale semper est quadrato⁴⁹ trianguli collateralis postremo ipsorum cuborum. Ut ostensum fuit in Arithmeticis nostris.

141 Item, sicut triangula columna semper aequalis est collaterali⁵⁰ pentagonae pyramidi, quod inferius in 6<^a> propositione demonstrabimus; ita et quadrata columna sive cubus semper itidem aequalis est collaterali hexagonae aequiangulae pyramidi, quod in arithmeticis nostris late demonstravimus.