Propositio 42^a

1 Datam rationem bifariam, sive trifariam, sive quadrifariam, sive plurifariam, utcunque quispiam postulaverit, aequaliter partiri.

Sint datae rationis termini ac si oporteat rationem a ad c bifariam partiri, interponatur eis media proportionalis b. Si autem datae rationis termini sint ad et oporteat ipsam trifariam dividere, tunc interponantur eis duae mediae proportionales bc. Si vero datae rationis termini sint ae et oporteat ipsam quadrifariam partiri, tunc interponantur eis tres mediae proportionales quantitates bcd. Cuius problematis practica executio, quamvis a nobis in Arithmeticis quaestionibus sit abunde tradita, hic [C:124v] tamen ab exemplis non abstinebimus. 2 Et in primis notandum, quod quando propositae quantitates sunt adinvicem sicut quadrati numeri; tunc una quantitas interiacet illis media proportionalis; quando autem sicut cubi numeri, tunc duae mediae; quando vero sicut quadrati quadratorum, tunc tres mediae; quando demum sicut quadrati cuborum, tunc quinque mediae proportionales quantitates propositis interiacent: et in omni tali casu tales quantitates continue proportionales sunt adinvicem commensurabiles, quippe quae sunt¹ inter se in ratione numerorum; unde, et rationes ipsae tunc sunt rationales, hoc est per numeros expressae, atque ideo proposita ratio tunc secatur in rationes cognitas per numeros. 3 Si vero propositae quantitates secus, quam dictum est, ad invicem se habeant, interpositae proportionales mediae rationales non erunt. Exempli gratia, proponantur mihi duo numeri 8 e 18, quibus iubeor medium proportionalem invenire. Quoniam tales numeri se habent adinvicem sicut 4 et 9 quadrati numeri, quibus interiacet medius proportionalis 6, ideo et propositis unus similiter medius intererit proportionalis 12 duplum ad illum medium, sicut propositi² ad quadratos dupli sunt. [S:125] 4 Item si iubear ipsis 16 et 54 duos proportionales interponere; quoniam tales numeri sunt ad invicem sicut 8 et 27 cubi numeri, quibus interiacent [C:125r] duo medii proportionales, scilicet 12 et 18, iam ideo et propositis totidem medii proportionales interiacebunt, scilicet 24 et 36. Item si ipsis 3 et 48 tres medios proportionales accommodare velim, non minus licebit, cum sint sicut 1 et 16 quadrati secundi, quibus tres 2, 4, 8 medii intersunt, eruntque inter propositos medii 6, 12, 24. 5 Adhuc si his numeris 3 et 192 lubet intercludere quinque medios proportionales, possibile erit: quandoquidem tales sunt in proportione ipsorum 1 et 64 qui sunt quadrati cuborum, quibus nemo nescit quinque numeros interesse³ proportionales, scilicet 2, 4, 8, 16, 32. Unde et propositis intererunt totidem, scilicet 6, 12, 24, 48, 96. Quod si propositi numeri aliter quam dictum est adinvicem se habeant, non intererunt ipsis, quos diximus, numeri proportionales, sed quantitates irrationales. 6 Exempli causa, proponantur duo numeri nullam dictarum proportionum ad invicem servantes, utpote 2 et 3. Iam his nullatenus medii proportionales, quos diximus, intererunt; sed quaedam irrationales quantitates. Itaque si velim ipsis 2 et 3 mediam includere proportionalem, agam per eorum quadratos 4 et 9 quibus interest⁴ 6 qui quadratus erit mediae quaesitae, quae iam potentia tantum [C:125v] notescit. Nam sicut tres quadrati 4, 6, 9 sunt continue proportionales, ita⁵ et eorum radices scilicetr4 r6 r9 sunt continue proportionales. 7 Si autem iisdem numeris velim duas medias proportionales inserere, assumam eorum cubos 8 et 27 quorum medii duo sunt 12 et 18 qui cubi sunt duarum quas quaerimus mediarum. Nam radices cuborum proportionalium sunt et proportionales. Si vero iisdem tres medias interponere iubear, exponam eorum secundos quadratos, scilicet 16 et 81, quorum tres numeri medii sunt scilicet 24, 36, 54 qui secundi quoque quadrati erunt quantitatum trium mediarum, quas quaerimus. 8 Et quoniam horum numerorum medius quadratus numerus est, iam media trium quantitatum non solum secundo quadrato sed etiam primo notescit: eritque ipsa r6⁶. Si demum, ipsis 2 et 3 quinque medias proportionales procurem, eliciam ex ipsis quadratos cuborum, sive cubos quadratorum, qui sunt 64 et 729, quibus interponi possunt quinque numeri proportionaliter, scilicet 96, 144, 216, 324, 486 qui similiter erunt quadrati cuborum quinque mediarum, [S:126] quas quaerimus, quantitatum. 9 Et quoniam horum medius habet cubam radicem, scilicet 6⁷, iam media quantitas erit radix quadrata 6⁸. Item, quoniam huius medii collaterales sunt quadrati numeri, quorum radices quadratae sunt 12 et 18, [C:126r] idcirco et mediae quantitatis collaterales erunt radices cubae numerorum 12 et 18. Sed haec omnia non solum ex Elementis Euclidis demonstrantur, verum etiam in trivialibus ludis practico cuilibet sunt notissima. Quatenus tamen problematis qualitas, et locus exigebat, haec a nobis inducta sunt.

Corollaria

10 Ex quibus quidem manifestum est, quod in quantitatibus continue proportionalibus, si prima et secunda fuerint rationales, tunc sequentes in eadem proportione continuate semper in infinitum rationales erunt. Si autem prima et tertia tantum rationales fuerint, tunc quinta, septima et, singulis semper intermissis, sequentes rationales erunt; intermissae vero omnes potentia tantum expressae. Si vero prima et quarta rationales dumtaxat esse contigerit, tunc septima, et decima, et tredecima et, binis semper intermissis, caeterae sequentes rationales erunt; intermissae autem cubo tantum cognitae. 11 Adhuc si prima et quinta solum rationales supponantur; tunc nona, tredecima, septemdecima et ternis semper intermissis singulae rationales erunt. Trium vero ubicunque intermissarum media quadrato tantum cognita, duae caeterae mediales, hoc est per secundum [C:126v] quadratum pronuntiatae. Denique si prima et septima tantum supponantur rationales; tunc necesse erit tredecimam, undevicesimam, vigesimam quintam et, quinis semper intermissis, singulas sequentes esse rationales. 12 Quinque vero in quovis loco intermissarum mediam potentia tantum esse rationalem; duas autem huic collaterales cubo tantum pronuntiabiles duasque extremas rationalibus proximas quadrato cubi tantum cognitas. Quae corollaria ex ipsa proportione, ductuque quantitatum satis constat, considerata numerorum multitudine, quae sive⁹ quadratis, sive cubis, sive secundis quadratis, sive quadratis cubicis proportionaliter intercidit, et ipsorum quadratorum, seu cuborum productis.