Propositio 36^a

1 Si fuerint quotlibet ab unitate ordinate radices, quod fit ex aggregato postremae et sequentis radicum in productum ex eisdem, duplum semper est ad congeriem ex cubo quadrato, et triangulo collateralibus postremae: et perinde sexcuplum pyramidis quadratae collateralis, hoc est aggregati quadratorum ex radicibus ordinatis [C:121r] productorum.

2 Exempli gratia, sint quatuor ab unitate radices quarum ultima sit a eius quadratus b dimidium multitudinis radicum sit c. Radix sequens hoc est quinta sit d fiatque ex b in d numerus e et ex d in c numerus f. Palam est, quod e est aggregatum ex cubo ipsius a et ex quadrato eius, hoc est, ex b quandoquidem d multiplicator est unitate maior quam a quodque per vigesimam octavam huius f est triangulus quartus, aggregatumque quatuor radicum. 3 Deinde g sit aggregatum ipsarum ad radicum, et h sit productum ex earundem ad multiplicatione, fiatque inde ex g in h numerus k et sic demonstrandum erit, quod numerus k est duplum ad aggregatum ex ef. Quod sic patet. Numerus g constat ex a et d et ideo constat ex duplo ipsius a et ex unitate; et numerus h constat ex a et b per nonam praecedentis libri: quoniam h est parte altera longior quinti loci et b est quartus quadratus cuius radix a. 4 Igitur ex a in ab fiet e et ex duplo ipsius a [S:121] in h fiet duplum ipsius e. Sed ex unitate in h fit duplum ipsius f. Igitur ex aggregato dupli ipsius a et unitatis, hoc est ex g in h fiet duplum totius ef, quod erat demonstrandum; quod enim productum ex unitate in h hoc est ipse h sit duplum ipsius f palam est. Nam f fit ex c in d. At ipse h fit ex a in d, qui duplus est ipsius c quoniam scilicet a est multitudo [C:121v] radicum et c dimidium talis multitudinis. 5 Constat ergo propositum. Sed ef per praemissam est triplum aggregati quadratorum a quatuor radicibus propositis factorum: ergo k qui fit ex g in h sexcuplus erit aggregati quadratorum, sicut propositio concludit. Quod autem pro quatuor radicibus conclusum est, pro quotcunque propositis in infinitum demonstrabitur.

Corollarium

6 Hinc altera regula elicitur ad habendum cumulum quadratorum a quotcunque ab unitate ordinatis radicibus factorum. Quod si pro radicibus proponantur aliae quantitates secundum primae crementum ordinatae, tunc proportio earum singularum ad singulas radices duplicanda est; et secundum talem proportionem adaugenda, vel diminuenda erit summa quadratorum¹ radicum, ut proveniat summa quadratorum² propositarum quantitatum.