Propositio 37^a

1 Propositis ab unitate quotlibet radicibus, si¹ radix proxime sequens multiplicet aggregatum ex quadrato postremae et ex dimidio ipsius postremae , producetur triplum summae quadratorum ipsarum radicum propositarum.

Exempli gratia, sunto radices octo dispositae ab unitate singulae cum suis quadratis. Radix proxime sequens erit 9, aggregatum ex quadrato postremae scilicet 64 [C:122r] et ex dimidio ipsius postremae scilicet 4 erit 68. 2 Aio igitur, quod si 9 ducatur in 68 producetur triplum summae talium quadratorum omnium scilicet 612. Quod sic patet. Per trigesimam sextam secundi horum Arithmeticorum, ex aggregato ipsorum 8 et 9 hoc est postremae propositarum et sequentis proxime radicis, hoc est ex 17 in productum earundem scilicet 72 fit sexcuplum² summae dictorum quadratorum. Igitur ex 81/2 quod est dimidium dicti aggregati in 72³ fiet triplum talis summae. 3 Sed sicut 72 ad 9 sic 68 ad 81/2 quare, per vigesimam septimi Elementorum, quod fit ex 72 in [S:122] 81/2 aequale erit ei, quod ex 9 in 68. Igitur ex 9 in 68 fiet triplum dictae summae quadratorum, quod erat demonstrandum. Quod autem 72 ad 9 sit sicut 68 ad 81/2 patet; nam 72 ad 9 est octuplus ex diffinitione multiplicationis, atque 68 ad 81/2 similiter octuplus: constat enim 68 ex duobus, scilicet 64 quadrato, et ex dimidio suae radicis, scilicet 4 estque 64 octuplus ad 8 suam radicem, et totuplus etiam quatuor dimidius eiusdem radicis ad 1/2. Quare totum 68 ad totum 81/2 similiter octuplum. Constat ergo propositum; quod sicut de octo, ita de quotcunque propositis radicibus similiter ostendemus.