[S:217]

PROPOSITIO XXIV.

Spatium sub spira primae revolutionis, et recta, quae revolutionis initium est, comprehensum, est tertia pars circuli primi.

Sit spira primae revolutionis ABCDEH; cuius initium H; et linea AH initium revolutionis; circulus primus AFGI, cuius tertia pars sit circulus S. Ostendendum est, quod spatium sub linea spirali ABCDEH, et sua AH recta comprehensum, aequale est circulo S. Secus enim erit aut maius, aut minus. Sit primum minus dictum spatium spirale circulo S in spatio R; ita ut spirale spatium una cum R sumptum sit aequale circulo S. Itaque per 21. huius, eiusque corollarium potest ipsi spirali spatio circumscribi figura ex similibus frustis composita excedens ipsum spatium spirale minus, quam sit R spatium. Circumscribatur, sitque eius maximum frustum AHK; minimum vero EHZ; itaque maior erit circulus S, quam figura circumscripta: et quoniam rectae a puncto H ad spiram eductae, per 10. huius, sese continuatim excedentes excessu, qui aequalis est minimae, estque maxima AH, et minima HE, et a singulis his fiunt similia frusta, sive similes formae, quae sunt similes circuli AFG sectores. Propterea per 8. huius, eiusque corollarium, totidem frusta, quot sunt dictae lineae, singula aequalia frusto maximo AHK, hoc est totus ipse circulus AFG minus erit, quam triplum aggregati dictorum similium frustorum, quorum maximum AHK, minimum EHZ, hoc est ipsius figurae spiram circumscribentis; quippe quae constat ex huiusmodi similibus frustis. Maior autem fuit circulus S, quam figura circumscripta. Eo magis circulus AFGI minor erit, quam triplum ad circulum S; quod est contra hypothesim. Non est ergo spatium spirale minus circulo S.

Sed neque maius erit. Sit enim si possibile est, spirale spatium sub spira ABCDEH et sub recta HA comprehensum maius circulo S in ipso spatio R; itaut circulus S una cum spatio R sit iam aequale spatio spirali. Deinde per 11. huius, eiusque corollarium ipso spatio spirali inscribatur figura ex similibus frustis composita, cuius maximum frustum sit NHL, minimum vero OEH; itaut spirale spatium excedat figuram inscriptam minori spatio, quam R. Et quoniam rectae a puncto H ad spiram deductae, quarum maxima est HA, minima HE se continuatim excedunt excessu, qui aequalis est minimae per 10. huius; et a singulis fiunt similia frusta, quae sunt similes circulorum sectores: quorum maximus est AHK minimus vero OEH. Propterea per 8. huius, eiusque postremum corollarium, totidem frusta, quot sunt dictae lineae singula aequalia frusto maximo KHA, hoc est totus ipse circulus AFGI plusquam triplum est aggregati dictorum similium frustorum (demp[S:218]to frusto AHK, quod ex maxima linearum, quae est AH conficitur:) quae frusta componunt figuram inscriptam. Maior autem est figura inscripta, quam circulus S. Quandoquidem circulus AFGI maiori excessu circulum, S, quam figuram dictam superavit. Tanto magis ergo circulus AFGI plusquam triplus erit circuli S; quod rursum contra hypothesim est. Non est ergo spatium spirale maius circulo S; sed neque minus fuit: superest ergo, ut aequale sit spatium spirale circulo S. Quod erat ostendendum.