PROPOSITIO XXIII.

Sumpto spatio sub quacumque spirae peripheria, et sub duabus rectis ab initio spirae ad peripheriam ipsius deductis: potest figura circumscribi, et inscribi ex frustis similibus; ita ut circumscripta inscriptam excedat minori spatio, quam sit quodcumque datum spatium.

Sit quantacumque spirae portio ABCDE, quae cum rectis AH, HE a principio spirae H eductis spatium quodvis spiralem contineant: oportet tali spatio figuram circumscribere, et inscribere; ita ut proponitur. Ad spatium HA super centro H describatur circulus AKF, cui HE producta occurrat apud F; et angulus AHF per medium iterum, atque iterum dividatur, donec deveniatur ad spatium, quod sit AHK dato spatio minus. Deinde, ut in praemissis, super H centro circulares peripheriae describantur per puncta spiralem lineam secantia. Quibus ordine peractis, satisfactum esse proposito constabit. Nam figura, nunc exempli gratia, spirali spatio circumscripta, constat ex quatuor frustis; et ex totidem inscripta conflatur: suntque frusta similia, similes videlicet circuli sectore: cumque tria frusta inscriptae (minimo dempto) sint aequalia tribus frustis circumscriptae ( maximo excepto) iam circumscripta tanto maior erit, quam inscripta, quanto maximum frustum circumscriptae AHK excedit HEG minimum inscriptae: et perinde minori spatio, quam sit datum spatium; quandoquidem totum AHK minus fuit dato spatio.

COROLLARIUM.

Unde sequitur, ut circa tale spatium spirale describi possit et inscribi figura, ut dictum est; ita ut circumscripta super spiralem aream addat minus quovis dato spatio, et inscripta sit minor eadem area per excessum quovis dato spatio minorem.